2020届高考数学理一轮复习讲义25指数与指数函数

§2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是mna＝nam(a0，m，n∈N＋，且mn为既约分数)；正数的负分数指数幂的意义是mna＝1nam(a0，m，n∈N＋，且mn为既约分数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα，其中a0，b0，α，β∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x0时，y1；当x0时，0y1(5)当x0时，0y1；当x0时，y1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数概念方法微思考1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．提示cd1ab02．结合指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质说明ax1(a0，a≠1)的解集跟a的取值有关．提示当a1时，ax1的解集为{x|x0}；当0a1时，ax1的解集为{x|x0}．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)nan＝(na)n＝a(n∈N＋)．(×)(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘．(×)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(4)若aman(a0，且a≠1)，则mn.(×)(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(√)题组二教材改编2．化简416x8y4(x0，y0)＝________.答案－2x2y3．若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过点P2，12，则f(－1)＝________.答案2解析由题意知12＝a2，所以a＝22，所以f(x)＝22x，所以f(－1)＝22－1＝2.4．已知a＝1335，b＝1435，c＝3432，则a，b，c的大小关系是________．答案cba解析∵y＝35x是R上的减函数，∴13351435035，即ab1，又c＝3432032＝1，∴cba.题组三易错自纠5．计算：1332×－760＋148×42－2323＝________.答案2解析原式＝1332×1＋342×142－1323＝2.6．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝______.答案2解析由指数函数的定义可得a2－3＝1，a0，a≠1，解得a＝2.7．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．答案(－2，－1)∪(1，2)解析由题意知0a2－11，即1a22，得－2a－1或1a2.8．已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________．答案12或32解析当0a1时，a－a2＝a2，∴a＝12或a＝0(舍去)．当a1时，a2－a＝a2，∴a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或32.题型一指数幂的运算1．若实数a0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4B．2a－3＝12a3C．(－2)0＝－1D．414a＝1a答案D解析对于A，(－2)－2＝14，故A错误；对于B,2a－3＝2a3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，414a＝1a，故D正确．2．计算：23278＋120.002－10(5－2)－1＋π0＝________.答案－1679解析原式＝－32－2＋12500－105＋25－25＋2＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.3．化简：3112113324140.1abab(a0，b0)＝________.答案85解析原式＝2×333223322210abab＝21＋3×10－1＝85.4．化简：41232333322533338242aabbaaaaaababa＝________(a0)．答案a2解析原式＝331113332211113333222aabaabb122311331115322aaabaaa5111623331113362.2aaaabaaba思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二指数函数的图象及应用例1(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0答案D解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a0，b0，c0B．a0，b≥0，c0C．2－a2cD．2a＋2c2答案D解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵abc且f(a)f(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，c0，∴02a1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a1，∴f(c)1，∴0c1.∴12c2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)f(c)，∴1－2a2c－1，∴2a＋2c2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1(1)已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或a＝b＝0.(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．答案1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2(1)已知a＝432，b＝254，c＝1325，则()A．bacB．abcC．bcaD．cab答案A解析由a15＝15432＝220，b15＝15452＝212，c15＝255220，可知b15a15c15，所以bac.(2)若－1a0，则3a，13a，a3的大小关系是__________．(用“”连接)答案3aa313a解析易知3a0，13a0，a30，又由－1a0，得0－a1，所以(－a)313a，即－a3－13a，所以a313a，因此3aa313a.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)(2018·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．答案12解析当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，代入不成立．故a的值为12.(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)0的解集为________________．答案{x|x4或x0}解析∵f(x)为偶函数，当x0时，－x0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，∴f(x)＝2x－4，x≥0，2－x－4，x0，当f(x－2)0时，有x－2≥0，2x－2－40或x－20，2－x＋2－40，解得x4或x0.∴不等式的解集为{x|x4或x0}．命题点3指数函数性质的综合应用例4(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．答案(－∞，4]解析令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．答案[0，＋∞)解析设t＝2x(t0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．(3)若函数f(x)＝24313axx－＋有最大值3，则a＝________.答案1解析令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有a0，12a－164a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.思维升华(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练2(1)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A．f(bx)≤f(cx)B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)f(cx)D．与x有关，不确定答案A解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称，易知b＝2，c＝3，当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(－∞，1)上单调递减，∴f(bx)f(cx)，综上，f(bx)≤f(cx)．(2)已知f(x)＝2x－2－x，a＝1479，b＝1597，则f(a)，f(b)的大小关系是__________．答案f(b)f(a)解析易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝1479＝14971597＝b，∴f(a)f(b)．(3)若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是____________．答案－