2020届高考数学理一轮复习讲义27函数的图象

§2.7函数的图象最新考纲考情考向分析1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)――――→关于x轴对称y＝－f(x)；②y＝f(x)――――→关于y轴对称y＝f(－x)；③y＝f(x)―――――→关于原点对称y＝－f(－x)；④y＝ax(a0且a≠1)―――――→关于y＝x对称y＝logax(a0且a≠1)．(3)伸缩变换①y＝f(x)――――――――――――――――――――→a1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0a1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y＝f(ax)．②y＝f(x)――――――――――――――――――――→a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变y＝af(x)．(4)翻折变换①y＝f(x)――――――――――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.②y＝f(x)――――――――――→保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．概念方法微思考1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，求f(x)，g(x)的关系．提示g(x)＝2b－f(2a－x)题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×)题组二教材改编2．函数f(x)＝x＋1x的图象关于()A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案C解析函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．把函数f(x)＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案y＝ln12x解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln12x.6．(2018·太原调研)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是__________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知，当a0时，y＝|x|与y＝a－x两图象只有一个交点，方程|x|＝a－x只有一个解．7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0ab且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象如图所示．由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b2ab(由于ab，故取不到等号)，所以ab4.8．下列图象是函数y＝x2，x0，x－1，x≥0的图象的是()答案C题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝2x－1x－1.解(1)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．(3)y＝x2－|x|－2＝x2－x－2，x≥0，x2＋x－2，x0，其图象如图③所示．(4)∵y＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的辨识例1(1)函数y＝x2ln|x||x|的图象大致是()答案D解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x0时，y＝xlnx，y′＝1＋lnx，可知函数在区间0，1e上单调递减，在区间1e，＋∞上单调递增．由此可知应选D.(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A．y＝f(|x|)B．y＝－|f(x)|C．y＝－f(－|x|)D．y＝f(－|x|)答案C解析题图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝12x在同一直角坐标系下的图象大致是()答案B解析因为函数g(x)＝12x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A，D.因为f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位得到的，所以f(x)为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C，故选B.(2)(2018·汉中模拟)函数f(x)＝21＋ex－1·sinx的图象的大致形状为()答案A解析∵f(x)＝21＋ex－1·sinx，∴f(－x)＝21＋e－x－1·sin(－x)＝－2ex1＋ex－1sinx＝21＋ex－1·sinx＝f(x)，且f(x)的定义域为R，∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D；当x＝2时，f(2)＝21＋e2－1·sin20，故排除B，只有A符合．题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝________.答案9解析作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0m1n且mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，从图象分析应有f(m2)＝2，∴log3m2＝－2，∴m2＝19.从而m＝13，n＝3，故nm＝9.命题点2解不等式例3函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式fxcosx0的解集为________________．答案－π2，－1∪1，π2解析当x∈0，π2时，y＝cosx0.当x∈π2，4时，y＝cosx0.结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，当1xπ2时，fxcosx0.又函数y＝fxcosx为偶函数，所以在[－4,0]上，fxcosx0的解集为－π2，－1，所以fxcosx0的解集为－π2，－1∪1，π2.命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数12log,020xxxfxx，＝，，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1]解析作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．答案12，1解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为12，1.思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)(2018·沈阳检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案C解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()答案B解析当x∈0，π4时，f(x)＝tanx＋4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除A，C；当x∈π4，3π4时，fπ4＝f3π4＝1＋