2020届高考数学理一轮复习讲义23函数的奇偶性与周期性

§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于坐标原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1fx(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|(2)T＝2|a|(3)T＝|a－b|题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.答案－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝______.答案1解析f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0x2时，f(x)0；当2x≤5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，∴当－2x0时，f(x)0，当－5≤x－2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12答案B解析∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13.6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝－x3，则f112＝________.答案18解析由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f112＝f－12＝－f12＝123＝18.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝36－x2＋x2－36；(2)f(x)＝ln1－x2|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.解(1)由36－x2≥0，x2－36≥0，得x2＝36，解得x＝±6，即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f(x)＝36－x2＋x2－36＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由1－x20，|x－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－20，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ln1－x2－x.又∵f(－x)＝ln[1－－x2]x＝ln1－x2x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A．f(x)＝x＋sin2xB．f(x)＝x2－cosxC．f(x)＝3x－13xD．f(x)＝x2＋tanx答案D解析对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝－3x－13x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x为奇函数；只有f(x)＝x2＋tanx既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)已知函数f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数答案A解析易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}．因为f(－x)＋g(－x)＝－x2－x－1＋－x2＝－x·2x1－2x－x2＝x1－2x－x1－2x－x2＝x2x－1＋x2＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.题型二函数的周期性及其应用1．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝x1－x，0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________.答案516解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f294＋f416＝f2×4－34＋f2×4－76＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sinπ6＝516.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－fx，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－fx，得f(x＋4)＝1－fx＋2＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f2，所以f(4)＝－1f2＝－12－3＝－2－3.故f(2020)＝－2－3.3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x1时，f(x)＝2x－1，则f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝f12＋0＋f－12＋f(0)＋f12＝f12－f12＋f(0)＋f12＝f12＋f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝ax＋b，－2≤x0，ax－1，0x≤2，则f(2021)＝________.答案－12解析设0x≤2，则－2≤－x0，f(－x)＝－ax＋b.因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1.而f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，所以－2a＋b＝2a－1，解得a＝12，所以f(2021)＝f(1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.答案e－x－1－x，x≤0，ex－1＋x，x0解析∵当x0时，－x0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，∴f(x)＝e－x－1－x，x≤0，ex－1＋x，x0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__________.答案1解析∵f(－x)＝f(x)，∴－xln(a＋x2－x)＝xln(x＋a＋x2)，∴ln[(a＋x2)2－x2]＝0.∴lna＝0，∴a＝1.(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f32＝f－12且f(－1)＝f(1)，故f12＝f－12，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是____________．答案[－1,0]解析因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且－1－a≤0，此时－a－2＝a2≤0，－1－a≤0，即a≤0，a≥－1，即－1≤a≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(lnx)f(2)，则x的取值范围是()A．(0，e2)B．(e－2，＋∞)C．(e2，＋∞)D．(e－2，e2)答案D解析根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(lnx)f(2)⇔|lnx|2，即－2lnx2，解得