2020届高考数学理一轮复习讲义21函数及其表示

§2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1．函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则．2．设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(√)(4)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)题组二教材改编2．函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．答案(－∞，1)∪(1,4]3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.答案③解析对于③，因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q，所以③不是从P到Q的函数．5．已知f(x)＝x－1，则f(x)＝____________.答案x2－1(x≥0)解析令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．6．设函数f(x)＝x＋12，x1，4－x－1，x≥1，则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为___________．答案(－∞，－2]∪[0,10]解析∵f(x)是分段函数，∴f(x)≥1应分段求解．当x1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－x－1≥1，即x－1≤3，∴1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10].题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018·江苏)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．答案{x|x≥2}解析由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，满足x0，所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}．(2)函数f(x)＝1xlnx2－3x＋2＋－x2－3x＋4的定义域为________________．答案[－4,0)∪(0,1)解析由x≠0，x2－3x＋20，－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x0或0x1，故函数f(x)的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2020]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是()A．[－1,2019]B．[－1,1)∪(1,2019]C．[0,2020]D．[－1,1)∪(1,2020]答案B解析使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2020，解得－1≤x≤2019，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2019]．所以函数g(x)有意义的条件是－1≤x≤2019，x－1≠0，解得－1≤x1或1x≤2019.故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2019]．引申探究本例(3)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2020]”，改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2020]”，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域为________．答案[－2,1)∪(1,2018]解析由函数f(x－1)的定义域为[0,2020]，得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2019]，令－1≤x＋1≤2019，x≠1，则－2≤x≤2018且x≠1.所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2018]．命题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．答案－92解析函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，所以a0，1＋2＝－b，1×2＝ba，解得a＝－32，b＝－3，所以a＋b＝－32－3＝－92.(2)设f(x)的定义域为[0,1]，要使函数f(x－a)＋f(x＋a)有定义，则a的取值范围为____________．答案－12，12解析函数f(x－a)＋f(x＋a)的定义域为[a,1＋a]∩[－a,1－a]，当a≥0时，应有a≤1－a，即0≤a≤12；当a0时，应有－a≤1＋a，即－12≤a0.所以a的取值范围是－12，12.思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．跟踪训练1(1)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1)B．[0,1]C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)答案A解析函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，要使函数g(x)有意义，可得0≤2x≤2，x－1≠0，解得0≤x1，故选A.(2)函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．答案(0,1]解析函数的定义域满足x≠0，1＋1x0，1－x2≥0，解得x0或x－1，－1≤x≤1，∴0x≤1.(3)记函数f(x)＝2－x＋3x＋1的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a1)的定义域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围为________________．答案(－∞，－2]∪12，1解析由已知得A＝{x|x－1或x≥1}，B＝{x|(x－a－1)(x－2a)0}，由a1得a＋12a，∴B＝{x|2axa＋1}．∵B⊆A，∴a＋1≤－1或2a≥1，∴a≤－2或12≤a1.∴a的取值范围为a≤－2或12≤a1.题型二求函数的解析式1．若f1x＝x1－x，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于()A.1xB.1x－1C.11－xD.1x－1答案B解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.答案12x2－32x＋2解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴2a＝1，a＋b＝－1，即a＝12，b＝－32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.3．定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝________________.答案23lg(x＋1)＋13lg(1－x)(－1x1)解析当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①将x换成－x，则－x换成x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)(－1x1)．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f1x或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．题型三常见函数的值域求下列函数的值域：(1)y＝3x2－x＋2，x∈[1,3]；(2)y＝3x＋1x－2；(3)y＝x＋41－x；(4)y＝2x2－x＋12x－1x12.解(1)(配方法)因为y＝3x2－x＋2＝3x－162＋2312，所以函数y＝3x2－x＋2在[1,3]上单调递增．当x＝1时，原函数取得最小值4；当x＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y＝3x2－x＋2(x∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y＝3x＋1x－2＝3x－2＋7x－2＝3＋7x－2，因为7x－2≠0，所以3＋7x－2≠3，所以函数y＝3x＋1x－2的值域为{y|y≠3}．(3)(换元法)设t＝1－x，t≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y＝2x2－x＋12x－1＝x2x－1＋12x－1＝x＋12x－1＝x－12＋12x－12＋12，因为x12，所以x－120，所以x－12＋12x－12≥2x－12·12x－12＝2，当且仅当x－12＝12x－12，即x＝1＋22时取等号．所以y≥2＋12，即原函数的值域为2＋12，＋∞.思维升华配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用均值不等式求解．题型四分段函数命题点1求分段函数的函数值例3(1)已知f(x)＝log3x，x0，ax＋b，x≤0，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))等于()A．－2B．2C．3D．－3答案B解析由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝12.故f(－3)＝1