2020届高考数学理一轮复习讲义12命题及其关系充分条件与必要条件

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲考情考向分析1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题．(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)题组二教材改编2．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若ab，cd，则acbdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x20，则x1”的逆否命题答案A3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等4．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠5．设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析xy⇏x|y|(如x＝1，y＝－2)，但当x|y|时，能有xy.∴“xy”是“x|y|”的必要不充分条件．6．已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2x3}{x|xa}，∴a≤2.题型一命题及其关系1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是()A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福答案D2．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切．其中真命题的序号是________．答案①③3．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．4．设m∈R，命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是__________________．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分、必要条件的判定例1(1)已知α，β均为第一象限角，那么“αβ”是“sinαsinβ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析取α＝7π3，β＝π3，αβ成立，而sinα＝sinβ，sinαsinβ不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sinαsinβ，但αβ，必要性不成立．故“αβ”是“sinαsinβ”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p：x1或x－3，条件q：5x－6x2，则¬p是¬q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由5x－6x2，得2x3，即q：2x3.所以q⇒p，p⇏q，所以¬p⇒¬q，¬q⇏¬p，所以¬p是¬q的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．跟踪训练1(1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件答案D解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．(2)设p：12x1，q：log2x0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由12x1知x0，所以p对应的集合为(0，＋∞)，由log2x0知0x1，所以q对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分条件．题型三充分、必要条件的应用例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，∴0≤m≤3.1＋m≤10，∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2(1)设p：|2x＋1|m(m0)；q：x－12x－10.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．答案(0,2]解析由|2x＋1|m(m0)，得－m2x＋1m，∴－m＋12xm－12.由x－12x－10，得x12或x1.∵p是q的充分不必要条件，又m0，∴m－12≤12，∴0m≤2.(2)设n∈N＋，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．例已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案0，12解析方法一命题p为x12≤x≤1，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．¬p对应的集合A＝xx1或x12，¬q对应的集合B＝{x|xa＋1或xa}．∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴a＋11，a≤12或a＋1≥1，a12，∴0≤a≤12.方法二命题p为A＝x12≤x≤1，命题q为B＝{x|a≤x≤a＋1}．∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即AB.∴a＋1≥1，a12或a＋11，a≤12，∴0≤a≤12.素养提升例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．已知命题p：若a1，则a21，则下列说法正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a1”答案B解析若a＝－2，则(－2)21，∴命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是“若a21，则a1”，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．故选B.2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定答案B解析命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．(2018·天津)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由x－1212，得0x1，则0x31，即“x－1212”⇒“x31”；由x31，得x1，当x≤0时，x－12≥12，即“x31”⇏“x－1212”．所以“x－1212”是“x31”的充分不必要条件．故选A.4．(2018·抚顺模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a20”是“ab”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由(a－b)a20可知a2≠0，则一定有a－b0，即ab；但ab即a－b0时，有可能a＝0，所以(a－b)a20不一定成立，故“(a－b)a20”是“ab”的充分不必要条件，故选A.5．有下列命题：①“若x＋y0，则x0且y0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋30的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①④答案C解析①的逆命题“若x0且y0，则x＋y0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假