2020届高考数学理一轮复习讲义131第1课时绝对值不等式

§13.2不等式选讲第1课时绝对值不等式最新考纲考情考向分析1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a(－a，a)∅∅|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．概念方法微思考1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示当a，b不共线时，|a|＋|b||a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．2．用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n＋1)段．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c≤0.(×)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.(√)(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当ab0时等号成立．(×)(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(×)(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(√)题组二教材改编2．不等式3≤|5－2x|9的解集为()A．[－2,1)∪[4,7)B．(－2,1]∪(4,7]C．(－2，－1]∪[4,7)D．(－2,1]∪[4,7)答案D解析由题意得|2x－5|9，|2x－5|≥3，即－92x－59，2x－5≥3或2x－5≤－3，解得－2x7，x≥4或x≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．3．求不等式|x－1|－|x－5|2的解集．解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2，∴－42，不等式恒成立，∴x≤1；②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2，∴x4，∴1x4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．题组三易错自纠4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.答案2解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.5．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．答案9解析把a＋b＋c＝1代入到1a＋1b＋1c中，得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．题型一绝对值不等式的解法例1(1)解不等式x＋|2x＋3|≥2.解原不等式可化为x－32，－x－3≥2或x≥－32，3x＋3≥2，解得x≤－5或x≥－13.综上，原不等式的解集是xx≤－5或x≥－13.(2)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解①当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.(*)当x－1时，(*)式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，(*)式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x1时，(*)式化为x2＋x－4≤0，从而1x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.②当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为x23x2.(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．题型二利用绝对值不等式求最值例2(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．解(1)∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，当且仅当0≤x≤1时等号成立，∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，当且仅当－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立．∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零点分区间法．跟踪训练2已知a和b是任意非零实数．(1)求|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值；(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．解(1)∵|2a＋b|＋|2a－b||a|≥|2a＋b＋2a－b||a|＝|4a||a|＝4，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，∴|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4.(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|min.由(1)可知，|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4，∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2,2]．题型三绝对值不等式的综合应用例3(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解(1)f(x)＝－3，x－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x2.当x－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x2时，由f(x)≥1，解得x2，所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－|x|－322＋54≤54，当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为－∞，54.思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3设函数f(x)＝x＋|x－a|.(1)当a＝2019时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2x－f(x)恒成立时a的取值范围．解(1)由题意得，当a＝2019时，f(x)＝2x－2019，x≥2019，2019，x2019，因为f(x)在[2019，＋∞)上单调递增，所以f(x)的值域为[2019，＋∞)．(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min2.而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，所以|1＋a|2，解得a1或a－3.即a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．1．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．解因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|3a－3b|≤3，a－12≤12，所以|4a－3b＋2|＝3a－3b＋a－12＋52≤|3a－3b|＋a－12＋52≤3＋12＋52＝6，即|4a－3b＋2|的最大值为6，所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.即实数m的取值范围为[6，＋∞)．2．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|，g(x)＝x2－x－a.(1)当a＝5时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3]，求a的取值范围．解(1)当a＝5时，不等式f(x)≥g(x)等价于|x＋1|－|x－2|≥x2－x－5，①当x－1时，①式化为x2－x－2≤0，无解；当－1≤x≤2时，①式化为x2－3x－4≤0，得－1≤x≤2；当x2时，①式化为x2－x－8≤0，得2x≤1＋332，所以f(x)≥g(x)的解集为－1，1＋332.(2)当x∈[2,3]时，f(x)＝3，所以f(x)≥g(x)的解集包含[2,3]，等价于x∈[2,3]时g(x)≤3，又g(x)＝x2－x－a在[2,3]上的最大值为g(3)＝6－a，所以g(3)≤3，即6－a≤3，得a≥3，所以a的取值范围为[3，＋∞)．3．已知f(x)＝|2x＋a|－|x－2|.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)≤4的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范围．解(1)当a＝－2时，由f(x)≤4，得2|x－1|－|x－2