2020届高考数学理一轮复习讲义123离散型随机变量的分布列及期望方差

§12.3离散型随机变量的分布列及期望、方差最新考纲考情考向分析1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．2.了解超几何分布，并能进行简单应用．3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中低档.1．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0_(i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.3．常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．(2)超几何分布设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝CmMCn－mN－MCnN(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．4．离散型随机变量的数学期望与方差设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.(1)数学期望称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根DX叫做离散型随机变量X的标准差．5．期望与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)概念方法微思考1．随机变量和函数有何联系和区别？提示区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．2．离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．3．如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？提示可用pi≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．4．随机变量的期望、方差与样本期望、方差的关系是怎样的？提示随机变量的期望、方差是一个常数，样本期望、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的期望、方差趋于随机变量的期望与方差．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(√)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(5)随机变量的期望是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(√)(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离期望的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(√)题组二教材改编2．设随机变量X的分布列如下：X12345P112161316p则p为()A.16B.13C.14D.112答案C解析由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.3．已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．1答案A解析E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.4．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________．答案0,1,2,3解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.题组三易错自纠5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数答案C解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．答案27220解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.题型一分布列的求法例1设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．解记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝23，P(Ak)＝13，k＝1,2,3,4,5.(1)方法一他前两发子弹只命中一发的概率为P(A1A2)＋P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)＝23×13＋13×23＝49.方法二由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C12×23×13＝49.(2)X的所有可能值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝23×23＋13×13＝59，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝23×132＋13×232＝29，P(X＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝233×13＋133×23＝1081，P(X＝5)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝232×132＋132×232＝881.故X的分布列为X2345P59291081881思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．跟踪训练1已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝35.故X的分布列为X200300400P11031035题型二期望与方差例2某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300－150P7929∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为X2500－3000P3513115∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35000，D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000.∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．思维升华离散型随机变量的期望与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解．(2)由已知期望或方差求参数值．可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据期望、方差的意义，对实际问题作出判断．跟踪训练2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ)，方差D(ξ)．解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－23＝16.两人都付0元的概率为P1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则P(ξ＝0)＝14×16＝124，P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003.题型三超几何分布例3(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4