§1.1集合的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点,在集合的运算中经常与不等式、函数相结合,解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图.考查学生的数形结合思想和计算推理能力.题型以选择题为主,低档难度.1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN+(或N*)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A,则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于AAB(或BA)集合相等如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素A=B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合A∩B={x|x∈A且x∈B}并集对于给定的两个集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合A∪B={x|x∈A或x∈B}补集如果给定集合A是全集U的一个子集,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA={x|x∈U且x∉A}概念方法微思考1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集.提示2n,2n-1.2.从A∩B=A,A∪B=A可以得到集合A,B有什么关系?提示A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.(×)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×)(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×)(4){x|x≤1}={t|t≤1}.(√)(5)若A∩B=A∩C,则B=C.(×)题组二教材改编2.若集合A={x∈N|x≤2020},a=22,则下列结论正确的是()A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A答案D3.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.答案2解析集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点22,22,-22,-22,则A∩B中有两个元素.题组三易错自纠4.(2018·湖南长郡中学月考)已知集合A={x∈N|0≤x≤4},则下列说法正确的是()A.0∉AB.1⊆AC.2⊆AD.3∈A答案D解析集合A={x∈N|0≤x≤4},∴0∈A,1∈A,2∉A,3∈A,故选D.5.已知集合A={x|x2-4x+30},B={x|2x4},则(∁RA)∪B=______________.答案{x|x≤1或x2}解析由已知可得集合A={x|1x3},又因为B={x|2x4},∁RA={x|x≤1或x≥3},所以(∁RA)∪B={x|x≤1或x2}.6.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________.答案0或1或-1解析易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,∴N=∅或N=M,∴a=0或a=±1.题型一集合的含义1.已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.6D.9答案C解析当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;当x=2时,y=0,1,2.故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素.2.已知集合A=xx∈Z,且32-x∈Z,则集合A中的元素个数为()A.2B.3C.4D.5答案C解析因为32-x∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.3.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.答案-32解析由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-32,当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-32时,m+2=12,而2m2+m=3,故m=-32.思维升华(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.(2)如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.题型二集合间的基本关系例1(1)集合M=xx=n2+1,n∈Z,N=yy=m+12,m∈Z,则两集合M,N的关系为()A.M∩N=∅B.M=NC.M⊆ND.N⊆M答案D解析由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+12(k∈Z),∴N⊆M,故选D.(2)已知集合A={x|x2-2019x+20180},B={x|xa},若A⊆B,则实数a的取值范围是______________________.答案[2018,+∞)解析由x2-2019x+20180,解得1x2018,故A={x|1x2018}.又B={x|xa},A⊆B,如图所示,可得a≥2018.引申探究本例(2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________.答案(-∞,1]解析A={x|1x2018},B={x|x≥a},A⊆B,如图所示,可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.跟踪训练1(1)已知集合A={y|0≤ya,y∈N},B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},若AB,则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为________.答案8解析B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足AB,当a=4时,A={0,1,2,3},不满足AB,同理,当a≥5时均不满足AB.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},其子集有8个.(2)已知集合A={x|-1x3},B={x|-mxm}.若B⊆A,则m的取值范围为__________.答案(-∞,1]解析当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.当m0时,因为A={x|-1x3},B⊆A,所以在数轴上标出两集合,如图,所以m0,-m≥-1,所以0m≤1.综上所述,m的取值范围为(-∞,1].题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例2(1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A={}x|x2-x-20,则∁RA等于()A.{x|-1x2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x-1}∪{x|x2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案B解析∵x2-x-20,∴(x-2)(x+1)0,∴x2或x-1,即A={x|x2或x-1}.在数轴上表示出集合A,如图所示.由图可得∁RA={x|-1≤x≤2}.故选B.(2)已知集合A={x|x2-2x0},B={x|-5x5},则()A.A∩B=∅B.A⊆BC.B⊆AD.A∪B=R答案D解析∵A={x|x2或x0},∴A∪B=R.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)(2018·锦州模拟)已知集合A={x|xa},B={x|x2-3x+20},若A∩B=B,则实数a的取值范围是()A.a1B.a≤1C.a2D.a≥2答案D解析集合B={x|x2-3x+20}={x|1x2},由A∩B=B可得B⊆A,作出数轴如图.可知a≥2.(2)设集合A={-1,0,1},B=a-1,a+1a,A∩B={0},则实数a的值为________.答案1解析0∈a-1,a+1a,由a+1a≠0,则a-1=0,则实数a的值为1.经检验,当a=1时满足题意.(3)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______.答案(-∞,-1]∪{1}解析因为A∩B=B,所以B⊆A,因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得Δ=4a+12-4a2-10,-2a+1=-4,a2-1=0,解得a=1;②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0}满足题意;③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)0,解得a-1.综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.思维升华(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.跟踪训练2(1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A={x|-2x4},B={x|y=lg(x-2)},则A∩(∁RB)等于()A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,2)D.(-2,2]答案D解析由题意得B={x|y=lg(x-2)}=(2,+∞),∴∁RB=(-∞,2],∴A∩(∁RB)=(-2,2].(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1xm+1},且A∩B=B,则实数m的取值范围为()A.[-1,2)B.[-1,3]C.[2,+∞)D.[-1,+∞)答案D解析由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A.①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2;②当B≠∅时,有-3≤2m-1,m+1≤4,2m-1m+1,解得-1≤m2.综上,m的取值范围为[-1,+∞).题型四集合的新定义问题例4(1)(2018·沈阳模拟)已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素数字之和为()A.15B.16C.20D.21答案D解析由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得A={0,1,2,3}.因为A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素有:0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素数字之和为21.(2)设数集M=xm≤x≤m+34,N=xn-13≤x≤n,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长