2020届高考数学文一轮复习讲义第9章96双曲线

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§9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体,研究参数a,b,c及与渐近线有关的问题,其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主,难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题,解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法,能灵活应用双曲线的几何性质.1.双曲线定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0.(1)当2a|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;(3)当2a|F1F2|时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±baxy=±abx离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)概念方法微思考1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?为什么?提示不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当2a|F1F2|时,动点的轨迹不存在;当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?提示若A0,B0,表示焦点在x轴上的双曲线;若A0,B0,表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB0.3.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a0,b0,二者没有大小要求,若ab0,a=b0,0ab,双曲线哪些性质受影响?提示离心率受到影响.∵e=ca=1+ba2,故当ab0时,1e2,当a=b0时,e=2(亦称等轴双曲线),当0ab时,e2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)(2)方程x2m-y2n=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.(×)(3)双曲线方程x2m2-y2n2=λ(m0,n0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xm±yn=0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2.(√)(5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与x2b2-y2a2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1e21+1e22=1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(√)题组二教材改编2.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为()A.5B.5C.2D.2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为xa±yb=0,即bx±ay=0,∴2a=bca2+b2=b.又a2+b2=c2,∴5a2=c2.∴e2=c2a2=5,∴e=5.3.已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x±2y=0B.2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案A解析椭圆C1的离心率为a2-b2a,双曲线C2的离心率为a2+b2a,所以a2-b2a·a2+b2a=32,即a4=4b4,所以a=2b,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±12x,即x±2y=0.4.经过点A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.答案x215-y215=1解析设双曲线的方程为x2a2-y2a2=±1(a0),把点A(4,1)代入,得a2=15(舍负),故所求方程为x215-y215=1.题组三易错自纠5.(2016·全国Ⅰ)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A解析∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)0,解得-m2n3m2,由双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),∴焦距2c=2×2|m|=4,解得|m|=1,∴-1n3,故选A.6.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53答案D解析由条件知y=-bax过点(3,-4),∴3ba=4,即3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2,∴25a2=9c2,∴e=53.故选D.7.已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为________________.答案x24-y2=1解析由双曲线的渐近线方程为y=±12x,可设该双曲线的标准方程为x24-y2=λ(λ≠0),已知该双曲线过点(4,3),所以424-(3)2=λ,即λ=1,故所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案B解析如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,∴|MF2|=2.∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2|F1F2|,∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________.答案34解析∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=22,∴|PF1|=2|PF2|=42,则cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=422+222-422×42×22=34.引申探究1.本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=22,在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|·|PF2|=8,∴12FPFS=12|PF1|·|PF2|·sin60°=23.2.本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“PF1→·PF2→=0”,则△F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=22,∵PF1→·PF2→=0,∴PF1→⊥PF2→,∴在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,∴|PF1|·|PF2|=4,∴12FPFS=12|PF1|·|PF2|=2.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.跟踪训练1设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.答案(27,8)解析如图,由已知可得a=1,b=3,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设P在右支上,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2,由于△PF1F2为锐角三角形,结合实际意义需满足m+22m2+42,42m+22+m2,解得-1+7m3,又|PF1|+|PF2|=2m+2,∴272m+28.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2018·大连调研)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________.答案x2-y28=1(x≤-1)解析如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2-y28=1(x≤-1).(2)根据下列条件,求双曲线的标准方程:①虚轴长为12,离心率为54;②焦距为26,且经过点M(0,12);③经过两点P(-3,27)和Q(-62,-7).解①设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1(a0,b0).由题意知,2b=12,e=ca=54,∴b=6,c=10,a=8.∴双曲线的标准方程为x264-y236=1或y264-x236=1.②∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.∴双曲线的标准方程为y2144-x225=1.③设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn0).∴9m-28n=1,72m-49n=1,解得m=-175,n=-125.∴双曲线的标准方程为y225-x275=1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时,设为Ax2+By2=1(AB0).②与双曲线x2a2-y2b2=1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0);③与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点的双曲线方程可设为x2a2-k-y2b2+k=1(-b2ka2).跟踪训练2(1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为________________.答案x216-y29=1解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.由双曲线的定义知,a=4,b=3.故曲线C2的标准方程为x242-y232=1.即x216-y29=1.(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案B解析由y=52x

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