2020届高考数学文一轮复习讲义第7章73一元二次不等式及其解法

§7.3一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1.一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}xx≠－b2a{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅2.常用结论(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}(x－a)·(x－b)0{x|axb}∅{x|bxa}口诀：大于取两边，小于取中间．概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c0(a0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0；ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.(√)(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(×)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．(√)题组二教材改编2．已知集合A＝{x|x2－x－60}，则∁RA等于()A．{x|－2x3}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x－2}∪{x|x3}D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}答案B解析∵x2－x－60，∴(x＋2)(x－3)0，∴x3或x－2，即A＝{x|x3或x－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．故选B.3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．答案－∞，1－73∪1＋73，＋∞解析由题意，得3x2－2x－20，令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73，∴3x2－2x－20的解集为－∞，1－73∪1＋73，＋∞.题组三易错自纠4．不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示)答案(－4，1)解析由－x2－3x＋40可知，(x＋4)(x－1)0，得－4x1.5．若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b＝________.答案－14解析∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－2，2]C．(－2，2)D．(－∞，2)答案B解析∵a－20，Δ0，∴－2a2，另a＝2时，原式化为－40，不等式恒成立，∴－2a≤2.故选B.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1(2019·呼和浩特模拟)已知集合A＝{x|x2－x－20}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于()A．(－1，2)B．(－2，1)C．(0，1)D．(0，2)答案D解析由题意得A＝{x|x2－x－20}＝{x|－1x2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y0}，∴A∩B＝{x|0x2}＝(0，2)．故选D.命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10(a0)．解原不等式变为(ax－1)(x－1)0，因为a0，所以x－1a(x－1)0.所以当a1时，解为1ax1；当a＝1时，解集为∅；当0a1时，解为1x1a.综上，当0a1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1解不等式12x2－axa2(a∈R)．解原不等式可化为12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围．解当m＝0时，f(x)＝－10恒成立．当m≠0时，则m0，Δ＝m2＋4m0，即－4m0.综上，－4m≤0，故m的取值范围是(－4，0]．命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)5－m恒成立，求实数m的取值范围．解要使f(x)－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．当m0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－60，所以m67，所以0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是mm67.方法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60，所以m6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m67即可．所以m的取值范围是mm67.引申探究1．若将“f(x)5－m恒成立”改为“f(x)5－m无解”，如何求m的取值范围？解若f(x)5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，即m≥6x2－x＋1恒成立，又x∈[1，3]，得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f(x)5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)5－m成立”，如何求m的取值范围？解由题意知f(x)5－m有解，即m6x2－x＋1有解，则m6x2－x＋1max，又x∈[1，3]，得m6，即m的取值范围为(－∞，6)．命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2－mx－10对于m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围．解设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，则g10，g20，即x2－x－10，2x2－2x－10，解得1－32x1＋32，故x的取值范围为1－32，1＋32.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练2函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．解(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴实数a的取值范围是[－6，2]．(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图②，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Δ0，x＝－a2－2，g－2≥0，即a2－43－a0，－a2－2，4－2a＋3－a≥0，可得a2或a－6，a4，a≤73，解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即Δ0，x＝－a22，g2≥0，即a2－43－a0，－a22，7＋a≥0，可得a2或a－6，a－4，a≥－7.∴－7≤a－6，综上，实数a的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需h4≥0，h6≥0，即x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋6.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．一、选择题1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|(x＋1)(x－5)0}，则A∩B等于()A．[－1，4)B．[0，5)C．[1，4]D．[－4，－1)∪[4，5)答案B解析由题意得B＝{x|－1x5}，故A∩B＝{x|x≥0}∩{x|－1x5}＝[0，5)．故选B.2．(2018·沈阳二十中联考)若不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，则不等式2x2＋bx＋a0的解集为()A.xx－1或x12B.x－1x12C．{x|－2x1}D．{x|x－2或x1}答案A解析∵不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，∴ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2，且a0，即－1＋2＝－ba，(－1)×2＝2a，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－10，解得x－1或x12，故选A.3．若一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3，0)B．[－3，0]C．[－3，0)D．(－3，0]答案A解析由题意可得k0，Δ＝k2－4×2k×－380，解得－3k0.4．若存在实数x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m0成立，则m的取值范围为()A．(13，＋∞)B．(5，＋∞)C．(4，＋∞)D．(－∞，13)答案B解析mx2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2，4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2，4]使x2－2x＋5－m0成立，即mf(x)min，∴m5.故选B.5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是()A．[－4，1]B．[－4，