2020届高考数学文一轮复习讲义第5章55复数

§5.5复数最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念．2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数的代数表示法及其几何意义．4.能进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.概念方法微思考1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)题组二教材改编2．设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|等于()A．0B.12C．1D.2答案C解析∵z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－2i2＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.3．在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i答案D解析CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A解析∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.题组三易错自纠5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析由题意，∵z＝2－2ii＝2－2i·－ii·－i＝－2－2i，∴z＝－2＋2i，则z的共轭复数z对应的点在第二象限．故选B.7．i2014＋i2015＋i2016＋i2017＋i2018＋i2019＋i2020＝________.答案－i解析原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.题型一复数的概念1．若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z的虚部为()A.35B．－35C.35iD．－35i答案B解析因为(1＋2i)z＝1－i，所以z＝1－i1＋2i＝1－i1－2i5＝－1－3i5，因此复数z的虚部为－35，故选B.2．(2019·大连质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是()A．－32＋12iB．－32－12iC.32－12iD.32＋12i答案D解析由复数2＋i1＋i＝()2＋i1－i1＋i1－i＝3－i2＝32－12i，所以共轭复数为32＋12i，故选D.3．(2018·抚顺模拟)已知复数a＋2i2－i是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a等于()A．－4B．4C．1D．－1答案C解析a＋2i2－i＝a＋2i2＋i2－i2＋i＝2a－2＋a＋4i5，∵复数a＋2i2－i为纯虚数，∴2a－2＝0且a＋4≠0，解得a＝1.故选C.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.(2)i()2＋3i等于()A．3－2iB．3＋2iC．－3－2iD．－3＋2i答案D解析i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i答案D解析1＋2i1－2i＝1＋2i21－2i1＋2i＝1－4＋4i1－2i2＝－3＋4i5＝－35＋45i.故选D.(2)(2019·通辽诊断)已知i为虚数单位，复数z满足iz＝2z＋1，则z等于()A．－25－15iB.25＋15iC．2＋iD．2－i答案A解析由iz＝2z＋1，得(2－i)z＝－1，解得z＝－12－i＝－2＋i5，即z＝－25－15i，故选A.命题点3复数的综合运算例3(1)(2019·盘锦模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为z，则||z等于()A.2B．3＋4iC．5D．7答案C解析z＝－1＋7i1＋i＝－1＋7i1－i2＝3＋4i，故z＝3－4i⇒|z|＝5，故选C.(2)(2018·乌海模拟)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i；③αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i1＋i＝1－i1－i1＋i1－i＝－2i2＝－i，故②正确；③αβ＝||－i＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确．故选C.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝3＋ai，z·z＝4，则a为()A．1或－1B．1C．－1D．不存在的实数答案A解析由题意得z＝3－ai，故z·z＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.(2)(2019·铁岭质检)已知复数a＋bi＝1－i21＋i(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b等于()A．－2B．－1C．0D．2答案A解析由复数的运算法则，可得1－i21＋i＝－2i1＋i＝－2i1－i1＋i()1－i＝－2i－22＝－1－i，结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，据此可得a＋b＝－2.故选A.题型三复数的几何意义例4(1)(2018·赤峰质检)复数z满足(2＋i)z＝||3－4i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析∵(2＋i)z＝||3－4i＝9＋16＝5，∴()2－i(2＋i)z＝5()2－i，5z＝5()2－i，z＝2－i，z在复平面内对应的点为()2，－1，在第四象限，故选D.(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：①AO→，BC→所表示的复数；②对角线CA→所表示的复数；③B点对应的复数．解①∵AO→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.②∵CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，∴OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练2(1)(2018·阜新模拟)已知复数z＝5i3＋4i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z对应的点在()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案A解析∵z＝5i3＋4i＝5i·()3－4i()3＋4i·()3－4i＝45＋35i，∴z＝45－35i，则z的共轭复数z对应的点在第四象限．故选A.(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若OC→＝xOA→＋yOB→，则x＋y的值是________．答案5解析由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵OC→＝xOA→＋yOB→，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴－x＋y＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4，故x＋y＝5.1．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则z1z2等于()A．－8－6iB．－8＋6iC．8＋6iD．8－6i答案C解析∵z1＝6－8i，z2＝－i，∴z1z2＝6－8i－i＝6－8ii－i2＝8＋6i.2．(2019·包头质检)若复数z满足(1＋2i)·z＝2＋i，其中i为虚数单位，则|z|等于()A.35B.45C．1D．2答案C解析由题意可得z＝2＋i1＋2i，则|z|＝2＋i1＋2i＝||2＋i||1＋2i＝55＝1.故选C.3．已知i为虚数单位，则复数21＋i在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析21＋i＝21－i1＋i1－i＝2－2i2＝1－i，在复平面内对应的点为(1，－1)，所以在第四象限，故选D.4．已知i为虚数单位，若复数z满足z＋iz－i＝1＋i，那么|z|等于()A．1B.2C.5D．5答案C解析∵z＋iz－i＝1＋i，z＋i＝(1＋i)()z－i，iz＝(2＋i)i，∴z＝2＋i，∴|z|＝1＋4＝5，故选C.5．已知i为虚数单位，a∈R，若i－2a－i为纯虚数，则a等于()A.12B．－12C．2D．－2答案B解析由题意知i－2a－i＝()i－2()a＋i()a－i()a＋i＝－2a－1＋a－2ia2＋1＝－2a－1a2＋1＋a－2a2＋1i，又由i－2a－i为纯虚数，所以－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－12，故选B.6．若复数z满足()3＋4iz＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z等于()A．－15－75iB．－15＋75iC．－125－725iD．－125＋725i答案D解析由题意可得z＝1－i3＋4i＝1－i3－4i3＋4i3－4i＝－1－7i25，所以z＝－125＋725i，故选D.7．已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为()A．20B．12C．25D．23答案C解析设z＝a＋bi，a，b∈R，则由z2＝12＋16i，得a2