2020届高考数学文一轮复习讲义第5章51平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.1．向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向不确定记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量(共线向量)共线向量的方向相同或相反0与任一向量平行或共线相等向量同向且等长的有向线段两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律向量的加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)向量的减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘向量求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ0时，λa与a同方向；当λ0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解平行向量基本定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(√)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(√)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)题组二教材改编2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________.(用a，b表示)答案b－a－a－b解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.3．在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为________．答案矩形解析如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案12解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案12解析DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；③正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填③.2．给出下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|，其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a||b|答案A解析方法一∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|AC→|＝|DB→|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.命题点2向量的线性运算例2(1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB→＝a，AD→＝b，则向量BF→等于()A.13a＋23bB．－13a－23bC．－13a＋23bD.13a－23b答案C解析BF→＝23BE→＝23(BC→＋CE→)＝23b－12a＝－13a＋23b，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→等于()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→答案A解析作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3在锐角△ABC中，CM→＝3MB→，AM→＝xAB→＋yAC→，则xy＝________.答案3解析由题意得CA→＋AM→＝3(AB→－AM→)，即4AM→＝3AB→＋AC→，亦即AM→＝34AB→＋14AC→，则x＝34，y＝14.故xy＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→等于()A.13a＋512bB.13a－1312bC．－13a－512bD．－13a＋1312b答案C解析DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b，故选C.(2)(2018·营口模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB→＝xAE→＋yAF→(x，y∈R)，则x－y＝________.答案2解析由题意得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12AD→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12AB→，因为AB→＝xAE→＋yAF→，所以AB→＝x＋y2AB→＋x2＋yAD→，所以x＋y2＝1，x2＋y＝0，解得x＝43，y＝－23，所以x－y＝2.题型三平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→，∴AB→，BD→共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)解假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.引申探究1．若将本例(1)中“BC→＝2a＋8b”改为“BC→＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解BC→＋CD→＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即BD→＝4a＋(m－3)b.若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD→＝λAB→.即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．所以4＝λ，m－3＝λ，解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ0)．所以k＝λ，kλ＝1，所以k＝±1.又λ0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时两向量反向共线．思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．跟踪训练2已知O，A，B是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明(1)若m＋n＝1，则OP→＝mOA→＋(1－m)OB→＝OB→＋m(OA→－OB→)，∴OP→－OB→＝m(OA→－OB→)，即BP→＝mBA→，∴BP→与BA→共线．又∵BP→与BA→有公共点B，则A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP→＝λBA→，∴OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)．又OP→＝mOA→＋nOB→.故有mOA→＋(n－1)OB→＝λOA→－λOB→，即(m－λ)OA→＋(n＋λ－1)OB→＝0.∵O，A，B不共线，∴OA→，OB→不共线，∴m－λ＝0，n＋λ－1＝0，∴m＋n＝1.1．对