2020届高考数学文一轮复习讲义第4章45第1课时简单的三角恒等变换

§4.5简单的三角恒等变换最新考纲考情考向分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))2．倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.3.半角公式cosα2＝±1＋cosα2，2Csinα2＝±1－cosα2，2Stanα2＝±1－cosα1＋cosα，2T概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形．2．怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx函数的性质？提示先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)对任意角α都有1＋sinα＝sinα2＋cosα22.(√)(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)题组二教材改编2．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4等于()A．－210B.210C．－7210D.7210答案C解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案22解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.4．tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝.答案3解析∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3.题组三易错自纠5．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝.答案2解析原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.6．(2018·抚顺模拟)已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝.答案－247解析方法一sinθ－π4＝210，得sinθ－cosθ＝15，①θ∈0，π2，①平方得2sinθcosθ＝2425，可求得sinθ＋cosθ＝75，∴sinθ＝45，cosθ＝35，∴tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.方法二∵θ∈0，π2且sinθ－π4＝210，∴cosθ－π4＝7210，∴tanθ－π4＝17＝tanθ－11＋tanθ，∴tanθ＝43.故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.7．化简：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝.答案4sinα解析2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα121＋cosα＝4sinα1＋cosα1＋cosα＝4sinα.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用1．(2018·呼和浩特质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为()A．－429B．－229C.229D.429答案A解析因为sin(π－α)＝sinα＝13，π2≤α≤π，所以cosα＝－1－sin2α＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×13×－223＝－429.2．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1答案D解析∵tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，∴tan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．(2018·辽阳调研)已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B.211C.112D．－112答案A解析∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，又tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋－12×－34＝－211.4．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为．答案12解析sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二和差公式的灵活应用命题点1角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝.答案2525解析依题意得sinα＝1－cos2α＝255，因为sin(α＋β)＝35sinα且α＋βα，所以α＋β∈π2，π，所以cos(α＋β)＝－45.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.(2)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π3的值为()A.1225B.2425C．－2425D．－1225答案B解析因为α为锐角，且cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝35，所以sin2α＋π3＝sin2α＋π6＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2×35×45＝2425，故选B.命题点2三角函数式的变换例2(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.解(1)由θ∈(0，π)，得0θ2π2，∴cosθ20，∴2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cosθ2.又(1＋sinθ＋cosθ)sinθ2－cosθ2＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2＝2cosθ2sin2θ2－cos2θ2＝－2cosθ2cosθ，故原式＝－2cosθ2cosθ2cosθ2＝－cosθ.(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.引申探究化简：1＋sinθ－cosθsinθ2－cosθ22－2cosθ(0θπ)．解∵0θπ，∴0θ2π2，∴2－2cosθ＝2sinθ2，又1＋sinθ－cosθ＝2sinθ2cosθ2＋2sin2θ2＝2sinθ2sinθ2＋cosθ2，∴原式＝2sinθ2sinθ2＋cosθ2sinθ2－cosθ22sinθ2＝－cosθ.命题点3公式的逆用与变形例3(1)已知sinα＋cosβ＝13，sinβ－cosα＝12，则sin(α－β)＝.答案－5972解析∵sinα＋cosβ＝13，sinβ－cosα＝12，∴(sinα＋cosβ)2＝19，(sinβ－cosα)2＝14，即sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＝19，①sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝14.②①＋②得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋(cos2β＋sin2β)＋2(sinαcosβ－sinβcosα)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝1336，则sin(α－β)＝－5972.(2)已知α－β＝π3，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为．答案33－12解析∵tanα－tanβ＝sinαcosα－sinβcosβ＝sinα－βcosαcosβ＝3，且α－β＝π3，∴cosαcosβ＝36，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝12，∴sinαsinβ＝12－36，那么cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝33－12.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．跟踪训练(1)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．答案79解析cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－29＝79.(2)已知α∈0，π2，β∈0，π2，且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sinβ＝.答案32解析由已知可得sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α