2020届高考数学文一轮复习讲义第2章26对数与对数函数

§2.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1.对数的概念一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaNa0，且a≠1.2.对数logaN(a0，a≠1)具有下列性质(1)N0；(2)loga1＝0；(3)logaa＝1.3.对数运算法则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaMN＝logaM－logaN.(3)logaMα＝αlogaM.4.对数的重要公式(1)对数恒等式：logaNa＝N.(2)换底公式：logbN＝logaNlogab.5.对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0(5)当x1时，y0；当0x1时，y0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数6.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？②化简logmnab.提示①logab·logba＝1；②logmnab＝nmlogab.2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．提示0cd1ab.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(2)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)题组二教材改编2．log29·log34·log45·log52＝.答案23．已知a＝213－，b＝log213，c＝12log13，则a，b，c的大小关系为．答案cab解析∵0a1，b0，c＝12log13＝log231.∴cab.4．函数y＝23log2x－1的定义域是．答案12，1解析由23log(2x－1)≥0，得02x－1≤1.∴12x≤1.∴函数y＝23log2x－1的定义域是12，1.题组三易错自纠5．已知b0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c答案B6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a1，c1B．a1,0c1C．0a1，c1D．0a1,0c1答案D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0a1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0c1.7．若loga341(a0且a≠1)，则实数a的取值范围是．答案0，34∪(1，＋∞)解析当0a1时，loga34logaa＝1，∴0a34；当a1时，loga34logaa＝1，∴a1.∴实数a的取值范围是0，34∪(1，＋∞).题型一对数的运算1．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.10B．10C．20D．100答案A解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝10.2．计算：lg14－lg25÷10012－＝.答案－20解析原式＝(lg2－2－lg52)×10012＝lg122×52×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：1－log632＋log62·log618log64＝.答案1解析原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.4．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝.答案6解析∵函数f(x)＝3x＋9x，∴f(log32)＝339log2log2log43929＋＝＋＝2＋4＝6.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为()答案C解析先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即方程|log0.5x|＝12x的解的个数，即函数y＝|log0.5x|与函数y＝12x图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点．(3)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)答案B解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax0x≤12，即当0x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝12时，124＝2，即函数y＝4x的图象过点12，2.把点12，2代入y＝logax，得a＝22.若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需22a1(如图所示)．当a1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是22，1.引申探究若本例(3)变为方程4x＝logax在0，12上有解，则实数a的取值范围为．答案0，22解析若方程4x＝logax在0，12上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在0，12上有交点，由图象知0a1，loga12≤2，解得0a≤22.思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()答案C解析函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．答案(1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例2设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则()A．abcB．bcaC．acbD．cba答案A解析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43log53log63，∴abc.命题点2解对数方程、不等式例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为．答案x＝5解析原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5，又x1，所以x＝5.(2)已知不等式logx(2x2＋1)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是．答案13，12解析原不等式⇔①0x1，2x2＋13x1，或②x1，2x2＋13x1，解不等式组①得13x12，不等式组②无解．所以实数x的取值范围为13，12.命题点3对数函数性质的综合应用例4(1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)答案D解析由题意得x2－ax－3a0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a－3a0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.(2)函数f(x)＝log2x·2log(2x)的最小值为．答案－14解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.(3)已知函数f(x)＝a－1x＋4－2a，x1，1＋log2x，x≥1，若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是．答案(1,2]解析当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为R，可得a－10，a－1＋4－2a≥1，解得a∈(1,2]．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cab答案D解析a＝log32log33＝1，b＝log52log55＝1.又c＝log23log22＝1，所以c最大．由1log23log25，得1log231log25，即ab，所以cab.(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a0，且a≠1)，若f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是．答案1，83解析当a1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)1，且8－2a0，解得1a83.当0a1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)1在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)1，且8－2a0.∴a4，且a4，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是1，83.比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，