2020届高考数学文一轮复习讲义第2章22函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1.函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x10，则当Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.3.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间．提示(－∞，－a]和[a，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y＝2x－1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是_______．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.题组三易错自纠5．函数y＝12log(x2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f(x)＝|x－a|＋1的增区间是[2，＋∞)，则a＝________.答案2解析∵f(x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是[a，＋∞)，∴a＝2.7．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1,1)解析由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，解得－1≤a1.8．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－80，解得x4或x－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在[1,2]上的单调性．解函数f(x)＝ax2＋1x(1a3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x1x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax22＋1x2－ax21－1x1＝(x2－x1)ax1＋x2－1x1x2，由1≤x1x2≤2，得x2－x10,2x1＋x24，1x1x24，－1－1x1x2－14.又因为1a3，所以2a(x1＋x2)12，得a(x1＋x2)－1x1x20，从而f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f′(x)＝2ax－1x2＝2ax3－1x2，因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，又1a3，所以2ax3－10，所以f′(x)0，所以函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．(4)具有单调性函数的加减．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0”的是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝1x－xD．f(x)＝ln(x＋1)答案C解析由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝1x－x，因为y＝1x与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f(x)在R上单调递增，所以a－10，即a1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f(x)＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.画出f(x)图象，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y＝x2－1x2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y＝x2－1x2＋1，可得x2＝1＋y1－y.由x2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y＝x＋1－x2的最大值为________．答案2解析由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，则y＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤2，故原函数的最大值为2.3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y＝－2x＋1，x≤－1，3，－1x2，2x－1，x≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y＝3x＋1x－2的值域为________________．答案{y|y∈R且y≠3}解析y＝3x＋1x－2＝3x－2＋7x－2＝3＋7x－2，因为7x－2≠0，所以3＋7x－2≠3，所以函数y＝3x＋1x－2的值域为{y|y∈R且y≠3}．5．函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y＝13x在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.6．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案B解析方法一设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.方法二由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f－12＝f52，且2523，所以bac.命题点2解函数不等式例4设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)0的解集是()A．{x|－3x0或x3}B．{x|x－3或0x3}C．{x|x－3或x3}D．{x|－3x0或0x3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3x0时，f(x)0；当x－3时，f(x)0.则不等式f(x)0的解集是{x|0x3或x－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π答案C解析∵f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，∴当x－π4∈－π2，π2，即x∈－π4，3π4时，y＝sinx－π4单调递增，f(x)＝－2sinx－π4单调递减，∴－π4，3π4是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆－π4，3π4，∴a≤3π4，即amax＝3π4.(2)已知函数f(x)＝x2＋12a－2，x≤1，ax－a，x1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a(x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a≤2.(3)(2018·呼伦贝尔模拟)已知函数f(x)＝log2(x