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课时训练(二十八)与圆有关的计算(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2019·温州]若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的弧长为()A.32πB.2πC.3πD.6π2.[2019·枣庄]如图K28-1,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()图K28-1A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-12π3.[2017·烟台]如图K28-2,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6.以AD为直径的☉O交CD于点E,则𝐷𝐸⏜的长为()图K28-2A.13πB.23πC.76πD.43π4.[2019·金华]如图K28-3,物体由两个圆锥组成,其主视图中,∠A=90°,∠ABC=105°,若上面圆锥的侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为()图K28-3A.2B.√3C.32D.√25.[2019·泰安]如图K28-4,将☉O沿弦AB折叠,𝐴𝐵⏜恰好经过圆心O,若☉O的半径为3,则𝐴𝐵⏜的长为()图K28-4A.12πB.πC.2πD.3π6.[2018·常州]如图K28-5,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=60°,𝐵𝐶⏜的长是4π3,则☉O的半径是.图K28-57.[2019·滨州]若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为.8.[2019·北京大兴一模]将一块含30°角的三角板如图K28-6放置,三角板的一个顶点C落在以AB为直径的半圆上,斜边恰好经过点B,一条直角边与半圆交于点D,若AB=2,则𝐵𝐷⏜的长为(结果保留π).图K28-69.[2019·徐州]如图K28-7,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若圆锥的底面圆半径r=2cm,扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥的母线长l为cm.图K28-710.[2019·天水]如图K28-8,在平面直角坐标系中,已知☉D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A,B两点,点B坐标为(0,2√3),OC与☉D交于点C,∠OCA=30°,则图中阴影部分的面积为(结果保留根号和π).图K28-811.[2018·大庆]如图K28-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为𝐵𝐷⏜,则图中阴影部分的面积为.图K28-912.[2019·陇南]如图K28-10①,把半径为1的圆分割成四段相等的弧,再将这四段弧依次相连拼成如图②所示的恒星图形,那么这个恒星图形的面积等于.图K28-1013.[2019·齐齐哈尔]如图K28-11,以△ABC的边BC为直径作☉O,点A在☉O上,点D在线段BC的延长线上,AD=AB,∠D=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若直径BC=4,求图中阴影部分的面积.图K28-1114.[2019·衢州]如图K28-12,在等腰三角形ABC中,AB=AC.以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E.(1)求证:DE是☉O的切线.(2)若DE=√3,∠C=30°,求𝐴𝐷⏜的长.图K28-1215.[2019·张家界]如图K28-13,AB为☉O的直径,且AB=4√3,点C是𝐴𝐵⏜上的一动点(不与A,B重合),过点B作☉O的切线交AC的延长线于点D,点E是BD的中点,连接EC.(1)求证:EC是☉O的切线;(2)当∠D=30°时,求图中阴影部分的面积.图K28-13|拓展提升|16.[2019·淄博]如图K28-14,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点E在AC上,以AE为直径的☉O经过点D.(1)求证:①BC是☉O的切线;②CD2=CE·CA;(2)若点F是劣弧AD的中点,且CE=3,试求阴影部分的面积.图K28-14【参考答案】1.C[解析]扇形的圆心角为90°,它的半径为6,即n=90°,r=6,根据弧长公式l=𝑛π𝑟180,得l=90π×6180=3π.故选C.2.C[解析]在边长为4的正方形ABCD中,BD是对角线,∴AD=AB=4,∠BAD=90°,∠ABE=45°,∴S△ABD=12·AD·AB=8,S扇形ABE=45·π·42360=2π,∴S阴影=S△ABD-S扇形ABE=8-2π.故选C.3.B[解析]如图,连接OE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=6,∠D=∠B=70°,∴OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=40°.∴𝐷𝐸⏜的长=40π×3180=23π.4.D[解析]∵∠A=90°,∠ABC=105°,∴∠ABD=45°,∠CBD=60°,∴△ABD是等腰直角三角形,△CBD是等边三角形.设AB长为R,则BD长为√2R.∵上面圆锥的侧面积为1,即1=12l·R,∴l=2𝑅,∴下面圆锥的侧面积为12l·√2R=12·2𝑅·√2R=√2.故选D.5.C[解析]连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交𝐴𝐸𝐵⏜于点E,由题可知OD=DE=12OE=12OA,在Rt△AOD中,sinA=𝑂𝐷𝑂𝐴=12,∴∠A=30°,∴∠AOD=60°,∠AOB=120°,∴𝐴𝐵⏜的长=𝑛π𝑟180=2π,故选C.6.2[解析]连接OB,OC,∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∵𝐵𝐶⏜的长为43π,∴设☉O半径为r,得120π𝑟180=43π,解得r=2.即☉O的半径为2.7.4√33[解析]如图,已知正六边形ABCDEF,连接OE,作OM⊥EF于M,则OE=EF,EM=FM,OM=2,∠EOM=30°,在Rt△OEM中,cos∠EOM=𝑂𝑀𝑂𝐸,∴√32=2𝑂𝐸,解得OE=4√33,故其外接圆半径为4√33.8.π39.6[解析]2π×2=120π·𝑙180,∴l=6.10.2π-2√3[解析]连接AB,∵∠AOB=90°,∴AB是直径,根据同弧所对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°,∵OB=2√3,∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2√3×√33=2,AB=𝐴𝑂sin30°=4,即圆的半径为2,∴S阴影=S半圆-S△ABO=π×222−12×2×2√3=2π-2√3.11.2π3[解析]先根据勾股定理得到AB=2√2,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△AED≌Rt△ACB,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=30π·(2√2)2360=2π3.12.4-π[解析]如图,∵新的正方形的边长为1+1=2,∴恒星的面积=2×2-π×12=4-π,故答案为:4-π.13.解:(1)证明:如图,连接OA,∵AD=AB,∠D=30°,∴∠B=30°,∠DAB=120°.∵BC是直径,∴∠BAC=90°,∴∠DAC=30°,∠BCA=60°,∵AO=CO,∴△ACO是等边三角形,∴∠CAO=60°,∴∠DAO=∠CAO+∠DAC=90°,∴直线AD是☉O的切线.(2)由(1)知,Rt△ADO中,AO=2,∠D=30°,∴AD=2√3,∴SRt△ADO=12×2√3×2=2√3,又∵S扇形AOC=60π×22360=2π3,∴S阴影=SRt△ADO-S扇形AOC=2√3−2π3.14.解:(1)证明:如图,连接OD,∵OC=OD,AB=AC,∴∠1=∠C,∠C=∠B.∴∠1=∠B.∵DE⊥AB,∴∠2+∠B=90°.∴∠2+∠1=90°,∴∠ODE=90°,∴DE为☉O的切线.(2)连接AD,∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD.∴∠AOD=60°.∵DE=√3,∴BD=CD=2√3,∴OC=2,∴𝐴𝐷⏜的长=60180π×2=23π.15.解:(1)证明:连接OC,BC,OE,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=∠BCD=90°.∵点E是BD的中点,∴CE=BE,∵OB=OC,OE=OE,∴△OBE≌△OCE.∵BD是☉O的切线,∴∠OBE=90°=∠OCE,∵OC是☉O的半径,∴EC是☉O的切线.(2)∵∠D=30°,∠OBD=90°,∴∠A=60°,∴∠BOC=120°,∠EOB=60°.∵AB=4√3,∴OB=2√3,BE=6,∴S阴影=2S△OBE-S扇形OBC=2×12×6×2√3−120π×(2√3)2360=12√3-4π.16.解:(1)证明:①连接DO.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD.∵DO=AO,∴∠EAD=∠ADO,∴∠BAD=∠ADO,∴BA∥DO,∴∠CDO=∠B.∵∠B=90°,∴∠CDO=90°,又∵OD是☉O的半径,∴BC是☉O的切线.②连接DE.∵AE是☉O的直径,∴∠ADE=90°,∴∠CDE+∠ADB=90°.又∵∠ADB+∠BAD=90°,∠BAD=∠DAE,∴∠CDE=∠DAE.又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD,∴𝐶𝐷𝐶𝐴=𝐶𝐸𝐶𝐷,∴CD2=CE·CA.(2)连接FO,DF.∵点F是劣弧AD的中点,∴𝐷𝐹⏜=𝐴𝐹⏜,∴∠AOF=∠DOF,∠BAD=∠ADF.∵∠BAD=∠EAD,∴∠EAD=∠ADF,∴DF∥AC,∴∠AOF=∠DFO.又∵∠DFO=∠FDO,∴∠DFO=∠FDO=∠DOF=60°.∵DF∥AC,∴S△DFA=S△DFO.易得△DEO是等边三角形,则∠CDE=30°=∠C,∴DO=DE=CE=3,∴S阴影=S扇形DFO=60360×π×32=32π.