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课时训练(二十七)与圆有关的位置关系(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2019·广州]平面内,☉O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线条数为()A.0条B.1条C.2条D.无数条2.[2019·苏州]如图K27-1,AB为☉O的切线.切点为A,连接AO,BO,BO与☉O交于点C,延长BO与☉O交于点D,连接AD.若∠ABO=36°,则∠ADC的度数为()图K27-1A.54°B.36°C.32°D.27°3.[2019·嘉兴]如图K27-2,已知☉O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA交OC延长线于点P,则PA的长为()图K27-2A.2B.√3C.√2D.124.[2019·台州]如图K27-3,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则☉O的半径为()图K27-3A.2√3B.3C.4D.4-√35.[2018·重庆A卷]如图K27-4,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为()图K27-4A.4B.2√3C.3D.2.56.[2019·荆门]如图K27-5,△ABC内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是()图K27-5A.DI=DBB.DIDBC.DIDBD.不确定7.[2019·仙桃]如图K27-6,AB为☉O的直径,BC为☉O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()图K27-6A.4个B.3个C.2个D.1个8.[2019·南京]如图K27-7,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=.9.[2019·宿迁]直角三角形的两条直角边分别是5和12,则它的内切圆半径为.图K27-710.[2018·安徽]如图K27-8,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE=.图K27-811.[2018·岳阳]如图K27-9,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①𝐵𝐶⏜=𝐵𝐷⏜;②扇形OBC的面积为274π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.图K27-912.[2019·菏泽]如图K27-10,BC是☉O的直径,CE是☉O的弦,过点E作☉O的切线,交CB的延长线于点G,过点B作BA⊥GE于点F,交CE的延长线于点A.(1)求证:∠ABG=2∠C;(2)若GF=3√3,GB=6,求☉O的半径.图K27-1013.[2019·天水]如图K27-11,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作☉O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.图K27-1114.[2018·遂宁]如图K27-12,过☉O外一点P作☉O的切线PA,切☉O于点A,连接PO并延长,与☉O交于C,D两点,M是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC,CM.(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.图K27-12|拓展提升|15.[2017·北京]如图K27-13,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.图K27-13【参考答案】1.C[解析]∵☉O的半径为1,点P到圆心O的距离为2,∴dr,∴点P与☉O的位置关系是:P在☉O外.∵过圆外一点作圆的切线有2条,故选C.2.D[解析]∵AB为☉O的切线,∴∠OAB=90°.∵∠ABO=36°,∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD,∴∠ADC=∠OAD,∵∠AOB=∠ADC+∠OAD,∴∠ADC=12∠AOB=27°,故选D.3.B[解析]连接OA,因为∠ABC=30°,所以∠AOC=60°,又因为PA为切线,所以∠OAP=90°,因为OA=OC=1,所以PA=√3.故选B.4.A[解析]设☉O与AC的切点为E,连接AO,OE,∵等边三角形ABC的边长为8,∴AC=8,∠C=∠BAC=60°.∵圆分别与边AB,AC相切,∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°,∴∠AOC=90°,∴OC=12AC=4.∵OE⊥AC,∴OE=√32OC=2√3,∴☉O的半径为2√3.故选A.5.A[解析]如图,连接OD.∵PC切☉O于点D,∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4,∴PO=PA+4,PB=PA+8.∵OD⊥PC,BC⊥PD,∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC,∴𝑂𝐷𝐵𝐶=𝑃𝑂𝑃𝐵,即46=𝑃𝐴+4𝑃𝐴+8,解得PA=4.故选A.6.A[解析]连接BI,如图,∵△ABC内心为I,∴∠1=∠2,∠5=∠6.∵∠3=∠1,∴∠3=∠2.∵∠4=∠2+∠6=∠3+∠5,∴∠4=∠DBI,∴DI=DB.故选A.7.A[解析]连接DO,∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠COB=∠COD,∴△COD≌△COB,∴∠ODC=∠OBC,∵BC为☉O的切线,∴∠OBC=90°,∴∠ODC=90°,∴CD是☉O的切线,故①正确;∵OB=OD,∠COB=∠COD,∴CO⊥DB,故②正确;∵∠EDA+∠ADO=90°,∠DBA+∠DAO=90°,∴∠EDA=∠DBA,∴△EDA∽△EBD,故③正确;∵△EDA∽△EBD,∴𝐸𝐷𝐸𝐵=𝐷𝐴𝐵𝐷,易证△COB∽△BAD,∴𝑂𝐵𝐴𝐷=𝐶𝐵𝐵𝐷,∴𝐷𝐴𝐵𝐷=𝑂𝐵𝐶𝐵,∴𝐸𝐷𝐸𝐵=𝑂𝐵𝐶𝐵,即ED·BC=BO·BE,故④正确.因此本题选A.8.219°[解析]连接AB,∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB.∵∠P=102°,∴∠PAB=∠PBA=12(180°-102°)=39°.∵∠DAB+∠C=180°,∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.9.2[解析]直角三角形的斜边=√52+122=13,所以它的内切圆半径=5+12-132=2.10.60°[解析]连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,∴OD是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOD=12∠AOB=30°,同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,故答案为60°.11.①③④[解析]∵AB是☉O的直径,CD⊥AB,∴𝐵𝐶⏜=𝐵𝐷⏜,故①正确.∵∠A=30°,∴∠COB=60°,∴扇形OBC的面积=60360·π·𝐴𝐵22=272π,故②错误.∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°,∴∠OCE=∠OFC,又∵∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正确.设AP=x,则OP=9-x,∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-922+814,∴当x=92时,AP·OP取最大值814,814=20.25,故④正确.故答案为①③④.12.解:(1)证明:连接OE,∵EG是☉O的切线,∴OE⊥EG,∵BF⊥GE,∴OE∥AB,∴∠A=∠OEC,∵OE=OC,∴∠OEC=∠C,∴∠A=∠C,∵∠ABG=∠A+∠C,∴∠ABG=2∠C.(2)∵BF⊥GE,∴∠BFG=90°,∵GF=3√3,GB=6,∴BF=√𝐵𝐺2-𝐺𝐹2=3,∵BF∥OE,∴△BGF∽△OGE,∴𝐵𝐹𝑂𝐸=𝐵𝐺𝑂𝐺,∴3𝑂𝐸=66+𝑂𝐸,∴OE=6,∴☉O的半径为6.13.解:(1)证明:连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,∴PA=PC.在△OAP和△OCP中,{𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑃𝐴=𝑃𝐶,𝑂𝑃=𝑂𝑃,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP.∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.(2)∵OB=OC,∠OBC=60°,∴△OBC是等边三角形,∴∠COB=60°,∵AB=10,∴OC=5,由(1)知∠OCF=90°,∴CF=OCtan∠COB=5√3.14.解:(1)证明:∵在☉O中,点M是半圆CD的中点,∴∠CAM=∠DCM,又∵∠CMA是△CMN和△AMC的公共角,∴△CMN∽△AMC,∴𝐶𝑀𝐴𝑀=𝑀𝑁𝑀𝐶,∴CM2=MN·MA.(2)连接OA,DM,∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,又∵∠P=30°,∴OA=12PO=12(PC+CO).设☉O的半径为r,∵PC=2,∴r=12(2+r),解得r=2.又∵CD是直径,∴∠CMD=90°,∵点M是半圆CD的中点,∴CM=DM,∴△CMD是等腰直角三角形,∴在Rt△CMD中,由勾股定理得CM2+DM2=CD2,∴2CM2=(2r)2=16,∴CM2=8,∴CM=2√2.15.解:(1)证明:如图①,∵DC⊥OA,∴∠1+∠3=90°.∵BD为切线,∴OB⊥BD,∴∠2+∠5=90°.∵OA=OB,∴∠1=∠2.∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,∴DE=DB.(2)如图②,作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE,∴EF=12BE=3.在Rt△DEF中,EF=3,DE=BD=5,∴DF=√52-32=4,∴sin∠DEF=𝐷𝐹𝐷𝐸=45.∵∠AOE=∠DEF,∴在Rt△AOE中,sin∠AOE=𝐴𝐸𝐴𝑂=45,∵AE=6,∴AO=152.即☉O的半径为152.