中考数学全面突破第十三讲四边形

第十三讲四边形命题点分类集训命题点1平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点．1.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A.OE＝12DCB.OA＝OCC.∠BOE＝∠OBAD.∠OBE＝∠OCE1.D第1题图第2题图2.如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于()A.1B.2C.3D.42.C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴CB＝MC＝2，∴AD＝BC＝2，∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5，∴DM＝DC－MC＝3.3.如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．3.AD∥BC(答案不唯一)第3题图第4题图第5题图4.如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________．4.1＜a＜7【解析】如解图，对角线AC，BD相交于点O，则OA＝12AC＝4，OD＝12BD＝3，在△OAD中，OA－OD＜AD＜OA＋OD，即1＜a＜7.5.如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__________．5.50°6.如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝12AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．6.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴DE∥FC.∵F是BC的中点，∴FC＝12BC＝12AD，∵DE＝12AD，∴FC＝DE，∴四边形CEDF是平行四边形．(2)解：如解图，过点D作DH⊥BC于点H.由(1)知四边形DECF是平行四边形，∴DF＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，AB＝3，AD＝4，∴BC＝4，CD＝3，∠BCD＝60°，在Rt△DHC中，HC＝DC·cos∠HCD＝32，DH＝DC·sin∠HCD＝332，∵F是BC的中点，∴FC＝2，∴FH＝FC－HC＝2－32＝12，在Rt△DFH中，由勾股定理得DF＝DH2＋FH2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE＝7.命题点2矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一．7.如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是()A.△AFD≌△DCEB.AF＝12ADC.AB＝AFD.BE＝AD－DF7.B【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴∠C＝90°＝∠AFD，AD∥BC，√∴∠ADF＝∠CED，∵AD＝DE，∴△AFD≌△DCE(AAS)B只有当∠ADF＝30°时，才有AF＝12AD成立×C由△AFD≌△DCE可知，AF＝DC，∵矩形ABCD中，AB＝DC，∴AB＝AF√D∵△AFD≌△DCE，∴DF＝CE，∴BE＝BC－CE＝AD－DF√8.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝________．8.2第7题图第8题图第9题图9.如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．9.3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题.设AD＝x，由题知，AB＝x＋2，又∵矩形ABCD的面积为15，则x(x＋2)＝15，得到x2＋2x－15＝0，解得，x1＝－5(舍),x2＝3，∴AD＝3.10.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线AF交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．10.(1)证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，∴△EAF≌△EDC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)解：四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴四边形AFBD是矩形．11.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，AD∥BC，∠DCB＝90°.∵EF∥AB，GH∥AD，∴EF∥CD，GH∥BC，∴四边形PFCH是矩形，∴∠PHC＝∠PFC＝90°，PH＝CF，HC＝PF，∴△PHC≌△CFP(SAS)．(2)证明：由(1)知AB∥EF∥CD，AD∥GH∥BC，∴四边形PEDH和四边形PGBF都是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形PEDH和四边形PGBF都是矩形，∴S矩形PEDH＝S矩形PGBF.命题点3菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正．．确．的是()A.AB＝ADB.AC⊥BDC.AC＝BDD.∠BAC＝∠DAC12.C【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由∠BAC＝∠DAC可得对角线是角平分线，所以D正确．第12题图第13题图13.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝45，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为()A.(0，0)B.(1，12)C.(65，35)D.(107，57)13.D【解析】如解图，连接CA、AD，CA与OB相交于点E，过点E作EF⊥OA，交OA于点F.由题知点C关于OB的对称点是点A，AD与BO的交点即为点P.根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE∽△EOF，∴COEO＝EOOF，∵OC＝OA＝5，OE＝OB2＝25，∴OF＝OE2CO＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF＝OE2－OF2＝（25）2－42＝2，点E的坐标为(4，2)，易得直线OE的函数解析式为y＝12x，直线AD的函数解析式是y＝－15x＋1，联立得：y＝12xy＝－15x＋1，解得x＝107y＝57，∴点P的坐标为(107，57)．14.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．14.16【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴AB＝2EF＝4，∴菱形ABCD周长是4AB＝16.第14题图第15题图15.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________．15.24【解析】如解图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝3，∴BD＝6，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×8×6＝24.16.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．16.105°或45°【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°.17.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．17.证明：∵∠B＝90°，AC＝2AB，∴sin∠ACB＝12，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝12∠CAB＝30°，∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AF∥CD，∴∠DCE＝∠FAE，∠AFE＝∠CDE，又∵AE＝CE，∴△AFE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD，又AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，又AD＝CD，∴四边形ADCF是菱形．命题点4正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A.2B.22C.2＋1D.22＋118.B【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH的周长为4×22＝22.19.▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．19.∠BAD＝90°(答案不唯一)20.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG的值等于________．20.89【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝12BD＝32a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝12×32a×32a＝98a2，∴S正方形MNPQS正方形AEFG＝a298a2＝89.第20题图第21题图21.如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．21.55【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，∠AOF＝∠BO