搜索
第十四讲圆命题点分类集训命题点1圆周角定理及其推论【命题规律】1.考查内容：①同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半；②同弧所对圆周角相等；③直径所对圆周角是直角；等弧所对圆心角相等.2.考查形式：①根据圆周角与圆心角关系求角度；②根据圆周角与圆心角结合其他知识求角度；③利用直径所对圆周角为直角并结合圆周角定理求角度．【命题预测】圆周角定理及其推论是圆中求角度问题的重要法宝，也是基础的知识，倍受命题人关注，是命题趋势之一．1.如图，在⊙O中，点C是AB︵的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()A.40°B.45°C.50°D.60°1.A【解析】∵OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－50°＝80°，∵点C是AB︵的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝12∠AOB＝40°，故选A.第1题图第2题图第3题图2.如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是()A.40°B.30°C.20°D.15°2.C【解析】如解图，连接CO，∵AB︵＝AC︵，∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∴∠ADC＝12∠AOC＝12×40°＝20°.故选C.3.如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．3.35【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC＝12∠OAB＝35°.命题点2垂径定理及其推论【命题规律】1.考查形式：①已知半径、弦长、弦心距中的两个量求另一个量；②结合垂径定理计算角度或线段长.2.利用垂径定理求线段长考查较多，题型多为选择题和填空题．【命题预测】垂径定理及其推论是圆中计算线段长的重要工具，是命题的重点，需对这部分知识做到熟练掌握．4.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝()A.5B.7C.9D.114.A【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝AB2＝12，∴在Rt△AON中，ON＝OA2－AN2＝132－122＝5.第4题图第5题图第6题图5.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于()A.64°B.58°C.72°D.55°5.B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝12(180°－∠AOC)＝12×(180°－64°)＝58°.6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝________．6.4－7【解析】如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝8，CD＝6，∴CE＝DE＝3，OC＝OB＝4.在Rt△OCE中，OE＝42－32＝7，∴BE＝OB－OE＝4－7.命题点3与圆有关的位置关系【命题规律】考查内容：直线与圆的位置关系；一般考查根据其位置关系，计算某一量的取值范围或已知圆心和半径，求圆与另一直线的位置关系．【命题预测】与圆有关的位置关系是圆中命题点之一，常需判断直线圆的位置关系，值得注意．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定7.A【解析】如解图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.过C作CD⊥AB于D，则S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，解得CD＝2.42.5，∴直线AB与⊙C相交．8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是()A.1＜r＜4B.2＜r＜4C.1＜r＜8D.2＜r＜88.B【解析】连接AD，则AD＝AC2＋CD2＝42＋32＝5，∵⊙A与⊙D相交，∴3－r53＋r，解得2＜r＜8，又∵点B在⊙D外，∴rBD，即r4.∴2r4，故选B.命题点4与切线有关的证明与计算【命题规律】1.主要考查：①利用切线性质求角度或线段长；②判定一条线是圆的切线.2.此类问题一般在三大题型中均有涉及，其中小题中常考查利用切线性质求角度或计算线段长问题，解答题中以两问设题居多，考查切线的判定和运用切线性质进行相关计算．【命题预测】切线性质与判定作为圆的重要知识，越来越受命题人的重视，是全国命题主流．9.如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为()A.15°B.30°C.45°D.60°9.B【解析】∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠A＝90°－∠AOB＝90°－60°＝30°.第9题图第10题图第11题图10.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是()A.25°B.40°C.50°D.65°10.B【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接OC.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO＝65°.∵CD是⊙的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.11.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．11.24【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C⊙O＝26π＝2πr，∴r＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt△CMO中，CM＝OC2－OM2＝12，∴CD＝2CM＝24.12.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．12.254【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OD、OA，则OD＝OA.∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF⊥AD，∴DF＝AF＝12AD＝6，在Rt△ODF中，设OD＝r，则OF＝EF－OE＝AB－OE＝8－r，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＋OF2＝OD2，即62＋(8－r)2＝r2，解得r＝254.∴⊙O的半径为254.13.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．13.(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD＝∠A，又∵∠DEA＝∠CBA，∴∠DEA＋∠DOE＝∠CAB＋∠CBA，又∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD∽△DBO，∴BDBO＝DFOD＝BFBD，∴BD＝DF＝10，∴OB＝5，即⊙O的半径为5.命题点5扇形的相关计算【命题规律】1.考查内容：①弧长的计算(含圆的周长)；②扇形的面积计算；③求弧所在圆的半径.2.考查形式：①已知扇形圆心角和半径求弧长；②已知扇形圆心角和半径求面积；③已知扇形圆心角和弧长求半径．【命题预测】扇形的相关计算是全国命题趋势之一．14.120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是()A.3B.4C.9D.1814.C【解析】由扇形的弧长公式l＝nπr180可得：6π＝120π·r180，解得r＝9.15.半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是()A.3πB.6πC.9πD.12π15.D【解析】由扇形的面积公式可得：S＝120×π×62360＝12π.命题点6圆锥的相关计算【命题规律】考查内容与形式：结合圆和扇形的知识求圆锥的底面圆周长、半径以及圆锥的母线长或圆心角．【命题预测】圆锥的相关计算的考查结合圆和扇形的性质，能够考查学生的实践操作能力，在这方面更贴近新课标的要求．16.若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm.16.9【解析】由n＝360rl得120＝360×3l，解得l＝9.17.若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.17.120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝nπ·6180，解得n＝120.命题点7阴影部分面积的计算【命题规律】阴影部分面积的计算常通过两种方法求解：①通过等积转换，把不规则的图形变换成规则图形的面积计算；②和差法，把阴影部分面积转化为几个规则图形面积和或差的形式计算，这是做阴影部分面积计算题的一般思路．【命题预测】阴影部分面积的计算综合知识较多，考查学生识图能力、分析能力和理解能力，是全国命题趋势之一．18.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是()A.π4B.12＋π4C.π2D.12＋π218.A【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝2，则半径OA＝OB＝1，∵△AOC≌△BOC，∴△AOC的面积与△BOC的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为14π×12＝π4.第18题图第19题图第20题图19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是()A.23－23πB.43－23πC.23－43πD.23π19.A【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(23)2，解得x＝2，又∵sinA＝BCAB＝12，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝12×2×23－60×π×22360＝23－23π.20.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．20.3π【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S扇形OAB＝120×π×32360＝3π.21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．21.(1)解：BC与⊙O相切．理由如下：如解图，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD.又∵∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切．(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OB＝r＋2，由(1)知∠BDO＝90°，∴在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝OB2，即r2＋(23)2＝(r＋2)2.解得r＝2.∵tan∠BOD＝BDOD＝232＝3，∴∠BOD＝60°.∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝12·OD·BD－60πr2360＝23－23π.命题点8圆与正多边形的相关计算【命题规律】考查内容：①圆内接正多边形的性质；②圆内接正多边形与圆的面积结合．【命题预测】圆与多边形结合类题目的考查形式比较固定，将圆的面积与多边形的相关性质结合起来进行考查，这个知识点将成为一种常态的命题形式．22.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则