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第二节空间几何体的表面积与体积【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的侧面积与表面积2,5,7,9空间几何体的体积1,3,11,13与球有关的问题6,10,12,14折叠与展开问题4综合应用8,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(D)(A)60(B)30(C)20(D)10解析:由三视图知,该三棱锥的高为4,底面是直角边长为3和5的直角三角形,所以V=××4=10.选D.2.(2016·全国Ⅰ卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是(A)(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π解析:因为·πR3=π,所以R=2.S=·4π·R2+3·πR2=17π,故选A.3.(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(C)(A)8(B)6(C)8(D)8解析:如图,连接AC1,BC1,AC.因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,所以∠AC1B=30°.又AB=BC=2,在Rt△ABC1中,AC1==4,在Rt△ACC1中,CC1===2,所以V长方体=AB·BC·CC1=2×2×2=8.故选C.4.(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(B)(A)2(B)2(C)3(D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N位于OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,所以MN===2.故选B.5.(2017·福建南平模拟)如图,一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为2的正方形(含一条对角线),则该几何体的侧面积为(B)(A)8(1+)(B)4(1+)(C)2(1+)(D)1+解析:由已知中的三视图可得该几何体的直观图如图所示.底面为正方形,AB=AD=2,棱锥的高为SA=2.SB=SD=2,CD⊥SD,CB⊥SB,所以S侧=S△SAB+S△SAD+S△SCB+S△SCD=2S△SAB+2S△SCB=2××2×2+2××2×2=4+4.故选B.6.(2018·福建模拟)已知三棱锥D-ABC中,AB=BC=1,AD=2,BD=,AC=,BC⊥AD,则该三棱锥的外接球的表面积为(B)(A)π(B)6π(C)5π(D)8π解析:由勾股定理易知AB⊥BC,因为DA⊥BC,所以BC⊥平面DAB.所以CD==.所以AC2+AD2=CD2.所以DA⊥AC.取CD的中点O,由直角三角形的性质知O到点A,B,C,D的距离均为,其即为三棱锥的外接球球心.故三棱锥的外接球的表面积为4π×()2=6π.7.已知圆锥的母线长为2,高为,则该圆锥的侧面积是.解析:由圆锥的性质知其底面圆的半径为=1,所以圆锥的侧面积为S侧=πrl=π×1×2=2π.答案:2π8.(2018·六安模拟)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)解析:因为圆台的轴截面为等腰梯形,上底为2.8尺,下底为1.2尺,所以中位线为=2,所以盆中积水的上底面半径为1尺,所以盆中积水为V=h(S上+S下+)=×0.9(π×0.62+π×12+)=0.3π×1.96=0.588π.又盆口面积为S=π×1.42=1.96π.所以平地降水量为=0.3尺=3寸.答案:3能力提升(时间:15分钟)9.(2016·全国Ⅲ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(B)(A)18+36(B)54+18(C)90(D)81解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱,其表面积S=2×(3×3+3×6+3×3)=54+18.故选B.10.(2018·合肥模拟)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为(A)(A)π(B)π(C)π(D)π解析:设所给半球的半径为R,则棱锥的高h=R,底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R,所以其体积R3=,则R3=2,于是球的体积为V=πR3=π,则半球的体积为V=π.11.(2018·日照一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(A)(A)π(B)π(C)π(D)π解析:该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥,然后挖掉一个相同的圆锥,所以该几何体的体积和半球的体积相等.由题图可知,球的半径为2,则V=πr3=.故选A.12.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为(B)(A)12(B)18(C)24(D)54解析:由等边△ABC的面积为9可得AB2=9,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d===2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×9×6=18.故选B.13.(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.解析:在Rt△SAB中,SA=SB,S△SAB=·SA2=8,解得SA=4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为h,在Rt△SAO中,∠SAO=30°,所以r=2,h=2,所以圆锥的体积为πr2·h=π×(2)2×2=8π.答案:8π14.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.解析:O为球心,△SBC,△SAC为等腰直角三角形,∠SAC=∠SBC=90°.AO⊥SC.BO⊥SC.所以∠AOB为二面角A-SC-B的平面角,又因为平面SCA⊥平面SCB,所以∠AOB=90°,且SC⊥平面AOB,设球的半径为r,S△AOB=r2,=+VC-AOB=2=2×S△AOB×SO=2×××r2×r=,所以=9,所以r=3.所以球的表面积为S球=4πr2=36π.答案:36π15.(2018·兰州模拟)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是.解析:由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,因为球心O在△ABC内的投影为△ABC的重心,所以×AB=,所以AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆,截面面积Smin=π×()2=.答案: