2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数教学案含解析理17

第四节二次函数与幂函数[考纲传真]1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上减，在－b2a，＋∞上增在－∞，－b2a上增，在－b2a，＋∞上减奇偶性当b＝0时为偶函数对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)(0，＋∞)增减，增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)[常用结论]1．与二次函数有关的恒成立问题设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则(1)f(x)＞0恒成立的充要条件是a＞0Δ＜0；(2)f(x)＜0恒成立的充要条件是a＜0Δ＜0；(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是fm＞0fn＞0；(4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是fm＜0fn＜0.2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象特征(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．()(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为()A.3B．±3C．±9D．9D[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12.所以f(x)＝x12＝x，故f(m)＝m＝3⇒m＝9.]3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.0，120B.－∞，－120C.120，＋∞D.－120，0C[由题意知a＞0，Δ＜0，即a＞0，1－20a＜0，得a＞120.]4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜bD[由图象知②③的指数大于零且b＞c，①的指数小于零，因此b＞c＞a，故选D.]5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4＝0，所以a＝4.]幂函数的图象与性质1．幂函数y＝f(x)的图象过点(8,22)，则幂函数y＝f(x)的图象是()ABCDC[令f(x)＝xα，由f(8)＝22得8α＝22，即23α＝232，解得α＝12，所以f(x)＝x12，故选C.]2．若a＝1223，b＝1523，c＝1213，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜cD[a＝1223＝1413，b＝1523＝12513，c＝1213，由125＜14＜12得b＜a＜c，故选D.]3．(2019·兰州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于()A.12B．1C.32D．2C[由幂函数的定义知k＝1.又f12＝22，所以12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32.]4．若(a＋1)12＜(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．－1，23[易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1＜3－2a，解得－1≤a＜23.][规律方法]幂函数的性质与图象特征的关系幂函数的形式是y＝xαα∈R，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.判断幂函数y＝xαα∈R的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.若幂函数y＝xα在，＋上单调递增，则α＞0，若在，＋上单调递减，则α＜0.求二次函数的解析式【例1】(1)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.(1)－4x2＋4x＋7(2)x2＋2x[(1)法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x＝2＋－2＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.(2)设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由4a×0－4a24a＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.][规律方法]求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.(1)x2＋2x＋1(2)－2x2＋4[(1)由题意知a－b＋1＝0，－b2a＝－1，解得a＝1，b＝2.从而f(x)＝x2＋2x＋1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，所以－a＝－－2ab，即b＝－2或a＝0，当a＝0时，则f(x)＝bx2，值域为(－∞，0]或[0，＋∞),不满足已知值域(－∞，4]，∴a＝0舍去，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.]二次函数的图象与性质►考法1二次函数的图象【例2】已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()D[A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.]►考法2二次函数的单调性【例3】函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．[－3,0][当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞]上递减，满足条件．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a2a，由f(x)在[－1，＋∞)上递减知a＜0，3－a2a≤－1，解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．][拓展探究]若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a为何值？[解]因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以a＜0，a－3－2a＝－1，解得a＝－3.►考法3二次函数的最值【例4】已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．[解](1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.(2)当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上且对称轴为x＝1a.①当0＜1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的对称轴在(0,1]内，所以f(x)在0，1a上单调递减，在1a，1上单调递增．所以f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a.②当1a＞1，即0＜a＜1时，f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0,1]的右侧，所以f(x)在[0,1]上单调递减．所以f(x)min＝f(1)＝a－2.(3)当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下且对称轴x＝1a＜0，在y轴的左侧，所以f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝a－2，a＜1，－1a，a≥1.[拓展探究]若将本例中的函数改为f(x)＝x2－2ax，其他不变，应如何求解？[解]因为f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为x＝a.①当a＜0时，f(x)在[0,1]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝0.②当0≤a≤1时，f(x)min＝f(a)＝－a2.③当a＞1时，f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)min＝f(1)＝1－2a.综上所述，f(x)min＝0，a＜0，－a2，0≤a≤1，1－2a，a＞1.[规律方法]二次函数最值的求法,二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.(1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()ABCD(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，2)(1)C(2)A[(1)若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.(2)二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝2k，当k＞0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k≤1，解得k≥2.当k＜0时，2k＜0，此时抛物线的对称轴在区间