2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线教学案含解析理52

第七节抛物线[考纲传真]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论]与抛物线有关的结论(1)抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为a4，0，准线方程为x＝－a4.(3)设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝p24，y1y2＝－p2.②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．③以弦AB为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2A[∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]3．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B.1516C.78D．0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]4．(教材改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]5．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]抛物线的定义与应用【例1】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．4[如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.][拓展探究](1)若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．(2)若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．[解](1)由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.(2)由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.[规律方法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(1)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为()A．3B．4C．5D.2＋1(2)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.(1)A(2)y2＝4x[(1)由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.]抛物线的标准方程与几何性质【例2】(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()A．x2＝112yB．x2＝112y或x2＝－136yC．x2＝－136yD．x2＝12y或x2＝－36y(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8(3)如图所示，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝9xC．y2＝92xD．y2＝3x(1)D(2)B(3)D[(1)将y＝ax2化为x2＝1ay.当a0时，准线y＝－14a，则3＋14a＝6，∴a＝112.当a0时，准线y＝－14a，则3＋14a＝6，∴a＝－136.∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.(2)设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝42，|DE|＝25，抛物线的准线方程为x＝－p2，∴不妨设A4p，22，D－p2，5.∵点A4p，22，D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，∴16p2＋8＝r2，p24＋5＝r2，∴16p2＋8＝p24＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.(3)分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3，所以|AC|＝2|AA1|＝6，所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，所以F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝12|AA1|＝32，故抛物线的方程为y2＝3x.][规律方法]1.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解直线与抛物线的位置关系►考法1直线与抛物线的交点问题【例3】(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝x214，y2＝x224，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1.(2)由y＝x24，得y′＝x2.设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)0，即m－1时，x1,2＝2±2m＋1.从而|AB|＝2|x1－x2|＝4m＋.由题设知|AB|＝2|MN|，即4m＋＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.►考法2与抛物线弦长或中点有关的问题【例4】已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．[解](1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋p2，由y＝kx＋p2，x2＝2py得x2－2kpx－p2＝0，∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中Ax1，x212p，Bx2，x222p.∴Mkp，k2p＋p2，Nkp，－p2.∴kAN＝x212p＋p2x1－kp＝x212p＋p2x1－x1＋x22＝x21＋p22px1－x22＝x21－x1x22px1－x22＝x1p.又x2＝2py，∴y′＝xp.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝x1p.∴直线AN与抛物线相切．[规律方法]解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.[解](1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由y2＝8x，x＝y＋m，得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m0，∴m－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝y21y2264＝m2.由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝12·|FM|·|y1－y2|＝3y1＋y22－4y1y2＝245.1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8D[法一：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23x＋，y2＝4x，得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以x＝1，y＝2或x＝4，y＝4，不妨设M(1