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第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质3,12点、线、面的位置关系1,2,4,7异面直线所成的角5,6,8,9综合应用10,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·遂宁模拟)直线l不平行于平面α,且l⊄α,则(B)(A)α内的所有直线与l异面(B)α内不存在与l平行的直线(C)α内存在唯一的直线与l平行(D)α内的直线与l都相交解析:如图,设l∩α=A,α内的直线若经过A点,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l异面.2.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是(D)(A)若AC与BD共面,则AD与BC共面(B)若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线(C)若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC(D)若AB=AC,DB=DC,则AD=BC解析:ABCD可能为平面四边形,也可能为空间四边形,故D不成立.3.(2018·周口月考)如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的是(D)解析:A中PS∥QR,故共面;B中PS与QR相交,故共面;C中四边形PQRS是平行四边形,故共面.4.(2018·咸阳模拟)已知m,n,l为不同的直线,α,β为不同的平面,有下面四个命题:①m,n为异面直线,过空间任一点P,一定能作一条直线l与m,n都相交.②m,n为异面直线,过空间任一点P,一定存在一个与直线m,n都平行的平面.③α⊥β,α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m,n与l都斜交,则m与n一定不垂直.④m,n是α内两相交直线,则α与β相交的充要条件是m,n至少有一条与β相交.则四个结论中正确的个数为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:①错误,因为过直线m存在一个与直线n平行的平面,当点P在这个平面内且不在直线m上时,就不满足结论;②错误,因为过直线m存在一个与直线n平行的平面,当点P在这个平面内时,就不满足结论;③正确,否则,若m⊥n,在直线m上取一点作直线a⊥l,由α⊥β,得a⊥n.从而有n⊥α,则n⊥l;④正确.5.(2018·潮州模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:有2条:A1B和A1C1.6.(2018·全国Ⅱ卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=,则tan∠EAB==,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.7.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).解析:由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.答案:①8.(2018·宁德模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.解析:还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.答案:②③④能力提升(时间:15分钟)9.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由题意,直线m∥BD,直线n∥A1B,又△A1DB为等边三角形,∠DBA1=60°,sin60°=,所以m,n所成角的正弦值为,故选A.10.(2018·茂名一模)如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:①AF⊥GC;②BD与GC为异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:将正方体展开图还原成正方体,①如图知AF与GC异面垂直,故①正确;②显然BD与GC为异面直线,连接MB,MD.则BM∥GC,在等边△BDM中,BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角,故②正确;③显然BD与MN异面垂直,故③错误;④显然GD⊥平面ABCD,所以在Rt△BDG中,∠GBD是BG与平面ABCD所成的角,Rt△BDG不是等腰直角三角形.所以BG与平面ABCD所成的角不是45°,故④错误.故选B.11.(2018·长春模拟)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是(A)(A)(0,)(B)(0,)(C)(1,)(D)(1,)解析:如图所示,令AB=,CD=a,设点E为AB的中点,则ED⊥AB,EC⊥AB,则ED==,同理EC=.由构成三角形的条件知0aED+EC=,所以0a.12.(2018·百色月考)不在同一条直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A∉α,给出以下三个结论:①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交,其中正确的结论是.解析:如图所示,三点A,B,C可能在α的同侧,也可能在α两侧,其中真命题是①.答案:①13.(2018·鹤岗模拟)已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图.若直线OA与BC所成角的大小为,则=.解析:过A作圆柱的母线AD,连接OD,则AD=l,OD=r,且△ODA为直角三角形,且∠OAD为异面直线BC与OA所成的角.所以∠OAD=,因为tan==,所以=.答案:14.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证:AE与PB是异面直线;(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;(3)求三棱锥AEBC的体积.(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)解:取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角.因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以AF=,AE=,PB=2,EF=,cos∠AEF==,所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(3)解:因为E是PC的中点,所以E到平面ABC的距离为PA=1,==×(×2×)×1=.