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第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用正、余弦定理解三角形1,2,7与三角形面积有关的计算6,8三角形形状的判断3几何计算问题12,13实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b等于(D)(A)(B)(C)2(D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3（b=-舍去）,选D.2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,设BC边上的高为AD,因为B=,所以∠BAD=.所以BD=AD,又AD=BC,所以DC=2AD,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin45°cos∠DAC+cos45°sin∠DAC=×+×=.故选D.3.(2018·杭州模拟)在△ABC中,cos=,则△ABC一定是(A)(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)无法确定解析:由cos=得2cos2-1=cosA=cosB,所以A=B,故选A.4.(2018·通辽模拟)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10nmile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(D)(A)10nmile(B)nmile(C)5nmile(D)5nmile解析:由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=5.5.(2018·南宁模拟)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是(C)(A)(0,］(B)［,π)(C)(0,］(D)［,π)解析:由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.所以b2+c2-a2≥bc,所以cosA=≥,所以0A≤.6.(2018·淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有周长为2+的△ABC满足:sinA∶sinB∶sinC=(-1)∶∶(+1).试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为sinA∶sinB∶sinC=(-1)∶∶(+1),由正弦定理得a∶b∶c=(-1)∶∶(+1).因为a+b+c=2+,所以a=-1,b=,c=+1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S==.故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.解析:由正弦定理=得=,所以sinB=,又bc,所以BC,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.解析:依题意作出图形,如图所示.则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC=,sin∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-==,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·宁波模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos2B+3cos(A+C)+2=0,b=,则c∶sinC等于(D)(A)3∶1(B)∶1(C)∶1(D)2∶1解析:由cos2B+3cos(A+C)+2=0,得2cos2B-3cosB+1=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=,所以sinB=,所以由正弦定理知c∶sinC=b∶sinB=2∶1.10.(2018·石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(D)(A)(B)2(C)3(D)4解析:由正弦定理可得,====4.因为A+B=.所以AC+BC=4sinB+4sinA=4sinB+4sin(-B)=4sinB+4(cosB+sinB)=2cosB+10sinB=4sin(B+θ)(tanθ=),因为0B,故AC+BC的最大值为4.11.(2018·内蒙古赤峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为m.(取≈1.4,≈1.7)解析:如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC中,=,所以BC=×sin15°=10500(-)(m).因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10500(-)×=10500(-1)≈7350(m).故山顶的海拔高度h=10000-7350=2650(m).答案:265012.(2018·四川泸州二珍)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=b(sinC+cosC).若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,则四边形ABDC面积的最大值为.解析:因为a=b(sinC+cosC),所以由正弦定理得sinA=sin∠ABC(sinC+cosC).即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sinC+cosC),所以cos∠ABCsinC=sin∠ABCsinC.因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以tan∠ABC=1.又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC=.在△BCD中,因为DB=2,DC=1,所以BC2=12+22-2×2×1·cosD=5-4cosD.又因为A=,∠ABC=,所以△ABC为等腰直角三角形.所以S△ABC=BC2=-cosD.又因为S△BCD=·BD·CD·sinD=sinD.所以S四边形ABDC=-cosD+sinD=+sin(D-).所以当D=时,S四边形ABDC最大.最大值为+.答案:+13.(2018·福建宁德一检)如图,△ABC中,D为AB边上一点,BC=1,B=.(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若A=,=,求的值.解:(1)BC=1,B=,S△BCD=BC·BD·sinB=×1×BD×=,BD=.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=1+2-2×1××=1,所以CD=1.(2)在△ACD中,由正弦定理得=,所以sin∠ACD===,在△BCD中,由正弦定理得=,所以sin∠DCB===,所以==×=.14.(2018·江西联考)已知函数f(x)=2sin2x-2sin2(x-),x∈R.(1)求函数y=f(x)的对称中心;(2)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f（+）=,△ABC的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.解:由f(x)=1-cos2x-（1-cos[2（x-）］=cos(2x-)-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).(1)令2x-=kπ(k∈Z),则x=+(k∈Z),所以函数y=f(x)的对称中心为(+,0),k∈Z.(2)由f(+)=得sin（B+）=⇒sinB+cosB=⇒asinB+acosB=b+c,由正弦定理得sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC⇒sinAsinB=sinB+cosAsinB,又因为sinB≠0,所以sinA-cosA=1⇒sin(A-)=.由0Aπ得-A-,所以A-=,即A=.又△ABC的外接圆的半径为,所以a=2sinA=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=.即b+c≤6,当且仅当b=c时取等号,所以△ABC周长的最大值为9.