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第三节随机事件的概率、古典概型与几何概型[考纲传真]1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.5.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6.了解几何概型的意义．1．频率与概率的关系在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率fn(A)＝nAn会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．2．事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等事件若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)3.概率的基本性质(1)任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件∅的概率为0，必然事件Ω的概率为1.(2)如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)事件A与它的对立事件–A的概率满足P(A)＋P(–A)＝1.4．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个计算公式[常用结论]如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．()(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(4)概率为0的事件一定为不可能事件．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是()A．0.80B．0.85C．0.90D．0.99C[由题意，该射手击中靶心的频率大约在0.9附近上下波动，故其概率约为0.90.故选C.]3．(教材改编)投掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币均正面朝上的概率是()A.14B.13C.12D.34A[P＝12×12＝14，故选A.]4．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()A[P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)P(C)＝P(D)P(B)．]5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．A与B，A与C，B与C，B与DB与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．]随机事件的频率与概率【例1】(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[解](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.[规律方法]1.概率与频率的关系,概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法,利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.易错警示：概率的定义是求一个事件概率的基本方法.(2019·郑州模拟)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获得利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天的需求量n(单位：件，n∈N*)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：日需求量n/件89101112频数91115105(ⅰ)假设商店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润的平均数；(ⅱ)若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于500元的概率．[解](1)当日需求量n≥10时，利润y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200；当日需求量n＜10时，利润y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.所以日利润y关于日需求量n的函数解析式为y＝30n＋n≥10，n∈N*，60n－n＜10，n∈N*(2)(ⅰ)由(1)及表格可知，这50天中有9天的日利润为380元，有11天的日利润为440元，有15天的日利润为500元，有10天的日利润为530元，有5天的日利润为560元，所以这50天的日利润的平均数为150×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)．(ⅱ)若当天的利润大于500元，则日需求量大于10件，则当天的利润大于500元的概率P＝10＋550＝310.古典概型【例2】(1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25(1)C(2)D[(1)不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝3C210＝115，故选C.(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝1025＝25.故选D.][规律方法]1.计算古典概型事件的概率可分三步：计算基本事件总个数n；计算事件A所包含的基本事件的个数m；代入公式求出概率P.用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用.(1)(2019·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A.310B.25C.320D.14(2)(2018·石家庄一模)用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位数的概率为________．(1)C(2)120[(1)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C36种放法，甲盒中恰好有3个小球有C23种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为C23C36＝320.故选C.(2)1,2,3,4,5可组成A55＝120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C24C22＝6个，故出现a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位数的概率为6120＝120.]几何概型【例3】(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34(2)(2018·合肥二模)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00到6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间在下午5：30到6：00之间．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜领取商品的概率为()A.19B.89C.512D.712(3)已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于23的概率为________．(1)B(2)D(3)2764[(1)这是几何概型问题，总的基本事件空间如图所示，共40分钟，等车时间不超过10分钟的时间段为：7：50至8：00和8：20至8：30，共20分钟，故他等车时间不超过10分钟的概率为2040＝12，故选B.(2)如图，设快递员和小李分别在下午5点后过了x分钟和y分钟到小李家，则所有结果构成的区域为{(x，y)|0≤x≤60,30≤y≤60}，这是一个矩形区域，y－x＞10表示小李比快递员晚到超过10分钟，事件M表示小李需要去快递柜领取商品，其所构成的区域是如图所示的直角梯形ABCD的内部区域及边界(不包含AB)，由y＝60，y＝x＋10，可得x＝50，y＝60，即A(50,60)，由y＝30，y＝x＋10，可得x＝20，y＝30，即B(20,30)，所以由几何概型的概率计算公式可知P(M)＝12＋60×30＝712，故选D.(3)当四棱锥OABCD的体积为23时，设O到平面ABCD的距离为h，则13×22×h