2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案含解析理16

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真]1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12B[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.]3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sinxD[A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sinx，－f(x)＝－x2－sinx，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．2B[∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.]5．(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上有()A．最大值4B．最小值－4C．最大值－3D．最小值－3B[法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.](对应学生用书第14页)判断函数的奇偶性【例1】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数C[对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．](2)判断下列函数的奇偶性．①f(x)＝lgx－1x＋1；②f(x)＝ln(x2＋1＋x)；③f(x)＝1－x2＋x2－1；④f(x)＝x2＋x，x＞0x2－x，x＜0.[解]①由x－1x＋1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝lg－x－1－x＋1＝lgx＋1x－1＝－lgx－1x＋1＝－f(x)∴f(x)为奇函数．②f(x)的定义域为R，f(－x)＝(lnx2＋1－x)＝ln1x2＋1＋x＝－ln(x2＋1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．③由x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，∴f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．④易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[规律方法]1.判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．判断分段函数奇偶性应注意的问题判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如本例(2)第④小题．(1)设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数D[f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2ex，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.](2)判断下列函数的奇偶性①f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)；②f(x)＝2x＋12x－1；③f(x)＝x2－1，x＜0－x2＋1，x＞0.[解]①由e＋x＞0，e－x＞0，得－e＜x＜e，即函数f(x)的定义域为(－e，e)，关于原点对称．又f(－x)＝ln(e－x)＋ln(e＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．②由2x－1≠0得x≠0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝2－x＋12－x－1＝1＋2x1－2x＝－2x＋12x－1＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．③函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝－f(x)，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝－f(x)，综上所述，f(－x)＝－f(x)．因此函数f(x)是奇函数．函数奇偶性的应用【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.(3)函数f(x)＝x＋x＋ax3为奇函数，则a＝________.(1)－2(2)x2－4x，x＞0－x2－4x，x≤0(3)－1[(1)由f(a)＝ln(1＋a2－a)＋1＝4，得ln(1＋a2－a)＝3，所以f(－a)＝ln(1＋a2＋a)＋1＝－ln11＋a2＋a＋1＝－ln(1＋a2－a)＋1＝－3＋1＝－2.(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝x2－4x，x＞0，－x2－4x，x≤0.(3)由题意得f(－1)＋f(1)＝0，即2(a＋1)＝0，解得a＝－1，经检验，a＝－1时，函数f(x)为奇函数．][规律方法]已知函数奇偶性可以解决的4个问题求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出.求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据fxf－x＝0得到关于参数的恒等式，由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组，进而得出参数的值，也可利用特殊值求解.如利用f－＝±f直接求参数的值.画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log3x＋，x≥0，gx，x＜0，则g(f(－8))＝()A．－1B．－2C．1D．2(2)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3B．0C．－1D．－2(3)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________.(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(1)＝________.(1)A(2)B(3)e－x－1－x，x≤0ex－1＋x，x＞0(4)52[(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.(2)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.(3)当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝ex－1＋x，又f(－x)＝f(x)，因此f(x)＝ex－1＋x.所以f(x)＝e－x－1－x，x≤0ex－1＋x，x＞0.(4)由题意知f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≤0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(1)＝－f(－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52.]函数的周期性及应用【例3】(1)(2019·沈阳模拟)函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f52的值为()A.12B.14C．－14D．－12(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－fx，则f(2018)＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3(3)已知定义在R上的函数满足f(x＋2