2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12节导数与函数的极值最值教学案含解析理12

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真]1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x2＝x－2x2，令f′(x)＝0得x＝2，又0＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x－2或x2时，f′(x)0；当－2x2时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．8[y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝23.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f23＝－827，f(2)＝8，∴最大值为8.]利用导数解决函数的极值问题►考法1根据导函数图象判断函数的极值【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]►考法2根据函数的解析式求极值【例2】已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．[解](1)当a＝12时，f(x)＝lnx－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝1x－12＝2－x2x，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗ln2－1↘故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－axx(x＞0)，当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a＞0时，当x∈0，1a时，f′(x)＞0，当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0，故函数在x＝1a处有极大值．综上所述，当a≤0时，函数在定义域上无极值点，当a＞0时，函数有一个极大值点．►考法3已知函数的极值求参数【例3】(1)(2019·成都模拟)若函数f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－22]B．(－∞，－22)C．(－∞，－3]D．(－∞，－3)(2)若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝________.(1)C(2)2[(1)f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a＋3]ex.令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3，由题意知－a＋22＞0，g或－a＋22≤0，g＜0，即－a＋22＞0，a＋3≤0或－a＋22≤0，a＋3＜0，解得a≤－3，故选C.(2)f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2.由f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或a＝6.当a＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，函数在x＝2处取得极小值，符合题意；当a＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，函数在x＝2处取得极大值，不符合题意，∴a＝2.][规律方法]利用导数研究函数极值的一般流程设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．(1)当a＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f(x)的极小值．(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＞0，解得x＜13或x＞1；令f′(x)＜0，解得13＜x＜1.所以函数f(x)在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在13，1上单调递减，极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综上，a的取值范围为43，＋∞.利用导数求函数的最值【例4】(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[解](1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.[规律方法]求函数fx在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：求函数在a，b内的极值；求函数在区间端点的函数值fa，fb；将函数fx的极值与fa，fb比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.已知函数f(x)＝1－xx＋klnx，k＜1e，求函数f(x)在1e，e上的最大值和最小值．[解]因为f(x)＝1－xx＋klnx，所以f′(x)＝－x－－xx2＋kx＝kx－1x2.(1)若k＝0，则f′(x)＝－1x2在1e，e上恒有f′(x)＜0，所以f(x)在1e，e上单调递减．所以f(x)min＝f(e)＝1－ee，f(x)max＝f1e＝e－1.(2)若k≠0，f′(x)＝kx－1x2＝kx－1kx2.①若k＜0，则在1e，e上恒有kx－1kx2＜0，所以f(x)在1e，e上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝1－ee＋klne＝1e＋k－1，f(x)max＝f1e＝e－k－1.②若k＞0，由k＜1e，得1k＞e，则x－1k＜0，所以kx－1kx2＜0，所以f(x)在1e，e上单调递减．所以f(x)min＝f(e)＝1－ee＋klne＝1e＋k－1，f(x)max＝f1e＝e－k－1.综上，k＜1e时，f(x)min＝1e＋k－1，f(x)max＝e－k－1.函数极值与最值的综合问题【例5】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a＞0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解](1)f′(x)＝ax＋bx－ax2＋bx＋cxx2＝－ax2＋a－bx＋b－cex，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex＞0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a＞0，所以当－3＜x＜0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，当x＜－3或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有9a－3b＋ce－3＝－e3，g＝b－c＝0，g－＝－9a－a－b＋b－c＝0，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝x2＋5x＋5ex.因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，而f(－5)＝5e－5＝5e5＞5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.[规律方法]求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间或开区间上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间或开区间上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.若函数f(x)＝13x3＋x2－23在区间(a，a＋5)上存在最