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第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积1,2,8,9,11平面向量的夹角与垂直4,5,6,7,13平面向量的模3,10,14平面向量的综合应用12,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(B)(A)4(B)3(C)2(D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.2.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是(A)(A)-4(B)4(C)-2(D)2解析:因为a·b=|a||b|cosa,b=18cosa,b=-12,所以cosa,b=-.所以a在b方向上的投影是|a|cosa,b=-4.3.(2018·云南玉溪模拟)a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于(C)(A)(B)(C)5(D)25解析:因为a=(2,1),所以a=,因为a·b=10,|a+b|=5,所以|a+b|2=(5)2,即|a|2+|b|2+2a·b=50,所以|b|2=25,所以|b|=5,故选C.4.已知向量=(1,1),=(2,3),则下列向量与垂直的是(D)(A)a=(3,6)(B)b=(8,-6)(C)c=(6,8)(D)d=(-6,3)解析:因为=(1,1),=(2,3),所以=(1,2).由于·d=(1,2)·(-6,3)=0,故⊥d.故选D.5.(2018·江西九校联考)已知向量a=(x2,x+2),b=(-,-1),c=(1,),若a∥b,则a与c的夹角为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为a∥b,所以=,所以x2=(x+2),cosa,c=====,又a,c∈[0,π],所以a,c=,故选A.6.设向量a=(1,m),b=(m-1,2),且a≠b.若(a-b)⊥a,则实数m的值为(C)(A)(B)1或2(C)1(D)2解析:因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,即a2-b·a=0,1+m2-(m-1+2m)=0,m2-3m+2=0.解得m=2或m=1.当m=1时,a=(1,1),b=(0,2),满足a≠b;当m=2时,a=(1,2),b=(1,2),不满足a≠b,故舍去.综上,m=1.故选C.7.(2018·大连双基测试)若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,所以a·b=2×1×cos=1,|a+2b|===2,所以cosa,a+2b====,因为a,a+2b∈[0,π],所以a,a+2b=.8.(2018·云南昆明一中月考)已知a=(-1,),b=(0,2),则向量a在向量b方向上的投影为.解析:因为a·b=-1×0+×2=2,|b|=2,所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cosa,b===.答案:9.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.解析:由题意知F3=-(F1+F2),所以|F3|=|F1+F2|,所以|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos60°=28,所以|F3|=2.答案:2能力提升(时间:15分钟)10.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|等于(A)(A)2(B)2(C)4(D)12解析:由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b===,由向量a在向量b方向上的投影为-2,则==-2,即|a|2=4,所以|a|=2.故选A.11.(2018·河南鹤壁高级中学段考)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·等于(B)(A)-(B)-(C)-(D)-解析:因为=2,圆O的半径为1,所以||=,所以·=(+)·(+)=||2+·(OE+)+·=()2+0-1=-.故选B.12.(2018·江西赣州红色七校联考)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则·的取值范围是(C)(A)[-1,0](B)[-1,2](C)[-1,3](D)[-1,4]解析:设M(x,y),如图,建立平面直角坐标系,由题意,点M所在的轨迹为(x-1)2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2),设M(x,y),又A(0,0),B(2,0),所以·=(-x,-y)·(2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,因为∈[0,2],所以(x-1)2+y2∈[0,4],所以(x-1)2+y2-1∈[-1,3],即·∈[-1,3].故选C.13.已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=.解析:a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.因为|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,所以|a|=3.因为|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,所以|b|=2,所以cosβ===.答案:14.在△ABC中,(-3)⊥,则角A的最大值为.解析:设△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c由已知得(-3)·=(-3)·(-)=+3-4·=0,所以cosA==≥=,则角A的最大值为.答案:15.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB=.解析:在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,所以==-,又因为=+,所以·=(+)·(-)=-·+·-=||2+||||cos60°-||2=1+×||-||2=1.所以(-||)||=0,又||≠0,所以||=,即AB=.答案: