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第5节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义和标准方程1,2,7,10双曲线的几何性质3,4,5,8,11双曲线的综合问题6,9,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.已知F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交,其中一个交点为P,则|PF2|等于(A)(A)6(B)4(C)2(D)1解析:由题意令|PF2|-|PF1|=2a,由双曲线方程可以求出|PF1|=4,a=1,所以|PF2|=4+2=6.故选A.2.(2018·黑龙江模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为(C)(A)-=1(B)-=1(C)x2-=1(D)-y2=1解析:双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,可得=,它的一个焦点坐标为(2,0),可得c=2,即a2+b2=4,解得a=1,b=,所求双曲线方程为x2-=1.故选C.3.(2018·辽宁辽南协作校一模)设F1和F2为双曲线-=1(a0,b0)的两个焦点,若F1,F2,(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是(B)(A)y=±x(B)y=±x(C)y=±x(D)y=±x解析:因为|F1F2|=2c,点(0,2b)到F2的距离为,所以2c=,所以4c2=4b2+c2,即3c2=4b2,所以3c2=4(c2-a2),得c=2a,所以b==a.所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x,选B.4.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(D)(A)(B)2(C)(D)2解析:由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a0,b0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.故选D.5.(2017·湖南娄底二模)给出关于双曲线的三个命题:①双曲线-=1的渐近线方程是y=±x;②若点(2,3)在焦距为4的双曲线-=1上,则此双曲线的离心率e=2;③若点F,B分别是双曲线-=1的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:双曲线-=1的渐近线方程是y=±x,故①错误;双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|-|=2,a=1,从而离心率e==2,所以②正确;F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±,±)均不满足渐近线方程,所以③正确.故选C.6.(2018·四川成都二诊)已知A,B是双曲线E的左、右焦点,点C在E上,∠ABC=,若(+)·=0,则E的离心率为(D)(A)-1(B)+1(C)(D)解析:因为(+)·=0,所以=,又∠ABC=π,所以BC=2c,AC=2c,所以2c-2c=2a,所以e===.故选D.7.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.解析:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,MC2-MC1=BC2-AC1=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于C1C2.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).答案:x2-=1(x≤-1)8.(2018·湖南两市九月调研)已知F为双曲线-=1(a0,b0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3,则此双曲线的离心率为.解析:根据题意知F(-c,0),A(0,b).设B(x0,y0),由=3得(x0,y0-b)=3(c,b),则4b=·3c.所以e==.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·四川模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点到抛物线y2=2px(p0)的准线的距离为2,点(5,2)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为(B)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为(-c,0),双曲线的左焦点到抛物线y2=2px(p0)的准线l:x=-的距离为2,可得c-=2,点(5,2)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,可得20=10p,即p=2,c=3,双曲线的渐近线方程为y=±x,可得2a=5b,且a2+b2=c2=9,解得a=,b=2,则双曲线的标准方程为-=1.故选B.10.(2018·云南五市联考)设P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m,n,则|m-n|等于(C)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:易知双曲线的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),恰为两个圆的圆心,两个圆的半径分别为2,1,所以|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=5,同理|PM|-|PN|的最小值为(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故选C.11.(2018·湖北省重点高中联考)已知双曲线C∶-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|-|PF2|=2a,=,且△OMF2为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为(B)(A)(B)+1(C)(D)解析:双曲线中,|PF1|-|PF2|=2a,所以P点在双曲线右支上,=,则M为PF2的中点,所以在△OMF2中,|OM||MF2|,所以∠MF2O=90°,又△OMF2为等腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|=2c,所以2c-2c=2a,所以e=+1.故选B.12.(2018·天津卷)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(C)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:如图,不妨设A在B的上方,则A(c,),B(c,-).其中的一条渐近线为bx-ay=0,则d1+d2===2b=6,所以b=3.又由e==2,知a2+b2=4a2,所以a=.所以双曲线的方程为-=1.故选C.13.(2018·沈阳质量监测)已知P是双曲线-y2=1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则·的值是.解析:设P(x0,y0),因为该双曲线的渐近线分别是-y=0,+y=0,所以可取|PA|=,|PB|=,又cos∠APB=-cos∠AOB=-cos=-,所以·=||·||·cos∠APB=·(-)=×(-)=-.答案:-