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第五节椭圆[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]与椭圆定义有关的结论以椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10D[依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]3．若方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的取值范围是()A．(－3,5)B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5)D．(－5,1)∪(1,3)C[由方程表示椭圆知5－m0，m＋30，5－m≠m＋3，解得－3m5且m≠1.]4．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9B[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m0，故m＝3.]5．(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．x24＋y23＝1[设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a＝2c＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.]椭圆的定义与标准方程1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12C[由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝43.]2．(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1D.x264＋y248＝1D[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝168＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.]3．(2019·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.3[设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．y210＋x26＝1[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n0，m≠n)．由－322m＋522n＝1，3m＋5n＝1，解得m＝16，n＝110.∴椭圆方程为y210＋x26＝1.][规律方法]1.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．2．求椭圆标准方程的常用方法(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．椭圆的几何性质►考法1求离心率的值或取值范围【例1】(1)(2017·浙江高考)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133B.53C.23D.59(2)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A.14，13B.13，12C.13，1D.13，1(1)B(2)D[(1)∵椭圆方程为x29＋y24＝1，∴a＝3，c＝a2－b2＝9－4＝5.∴e＝ca＝53.故选B.(2)设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥13.又∵0e1，∴13≤e1.]►考法2根据椭圆的性质求参数的取值范围问题【例2】(1)已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C．6D．5(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF→·PA→的最大值为________．(1)A(2)4[(1)∵椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，∴m－2＞0，10－m＞0，m－2＞10－m，解得6＜m＜10.∵焦距为4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.(2)由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.因为F(－1,0)，A(2,0)，PF→＝(－1－x0，－y0)，PA→＝(2－x0，－y0)，所以PF→·PA→＝x20－x0－2＋y20＝14x20－x0＋1＝14(x0－2)2.当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.][规律方法]1.求椭圆离心率的方法直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.列出含有a，b，c的齐次方程或不等式，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程或不等式求解.2.利用椭圆几何性质求参数的值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.(1)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A.23，1B.13，22C.13，1D.0，13(2)已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2＋y2＝1(a0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．(1)C(2)32[(1)如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c，∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝ca∈13，1.(2)因为椭圆x2a2＋y2＝1(a0)的焦点在x轴上，所以c＝a2－1，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得c2a2＋y2＝1，则y＝±1－c2a2，又|AB|＝1，所以21－c2a2＝1，得c2a2＝34，所以该椭圆的离心率e＝ca＝32(负值舍去)．]直线与椭圆的位置关系【例3】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ0，即－32m32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ0，即m－32或m32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．[规律方法]直线与椭圆的位置关系的类型及解题方法类型：一是判断位置关系；二是根据位置关系确定参数的取值范围.解题方法：一是联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断，二是借助几何性质来判断，如下面的跟踪训练.直线y＝kx－1与椭圆x24＋y2a＝1相切，则k，a的取值范围分别是()A．a∈(0,1)，k∈－12，12B．a∈(0,1]，k∈－12，12C．a∈(0,1)，k∈－12，0∪0，12D．a∈(0,1]，k∈－12，12B[∵直线y＝kx－1是椭圆的切线，且过点(0，－1)，∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部，∴a∈(0,1]．由方程组y＝kx－1，x24＋y2a＝1消去x，得(a＋4k2)y2＋2ay＋a－4ak2＝0.∵直线和椭圆相切，∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2)＝16ak2(a－1＋4k2)＝0，∴k＝0或a＝1－4k2.∵0＜a≤1，∴0＜1－4k2≤1，∴k2＜122，∴k∈－12，12]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223C[不妨设a0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝22，所以椭圆C的离心率e＝ca＝22.]2．(2018·全