2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质教学案含解析理25

第三节三角函数的图象与性质[考纲传真]1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R周期性周期为2π周期为2π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性递增区间：2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，递减区间：2kπ＋π2，2kπ＋3π2，递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，递增区间kπ－π2，kπ＋π2，k∈Zk∈Zk∈Z对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心kπ＋π2，0，k∈Z对称中心kπ2，0，k∈Z对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z)对称轴x＝kπ(k∈Z)[常用结论]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则①f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋π2，k∈Z；②f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(2)y＝sin|x|是偶函数．()(3)函数y＝sinx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．()(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．函数f(x)＝cosπx＋π3的最小正周期为()A.2πB.π2C．2πD．2D[T＝2ππ＝2，故选D.]3．函数y＝tan2x的定义域是()A.xx≠kπ＋π4，k∈ZB.xx≠kπ2＋π8，k∈ZC.xx≠kπ＋π8，k∈ZD.xx≠kπ2＋π4，k∈ZD[由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，∴y＝tan2x的定义域为xx≠kπ2＋π4，k∈Z.]4．函数y＝sin12x＋π3，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是()A.－2π，－5π3B.－2π，－5π3和π3，2πC.－5π3，π3D.π3，2πC[令z＝12x＋π3，函数y＝sinz的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，由2kπ－π2≤12x＋π3≤2kπ＋π2得4kπ－5π3≤x≤4kπ＋π3，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是－5π3，π3，故选C.]5．(教材改编)函数f(x)＝4－2cos13x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．2{x|x＝6kπ，k∈Z}[f(x)min＝4－2＝2，此时，13x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]三角函数的定义域、值域【例1】(1)函数y＝2sinx－3的定义域为()A.π3，2π3B.2kπ＋π3，2kπ＋2π3(k∈Z)C.2kπ＋π3，2kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ＋π3，kπ＋2π3(k∈Z)(2)函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为()A.－32，32B.－32，3C.－332，332D.－332，3(3)(2019·长沙模拟)函数f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x的最大值为()A．4B．5C．6D．7(1)B(2)B(3)B[(1)由2sinx－3≥0得sinx≥32，∴π3＋2kπ≤x≤23π＋2kπ(k∈Z)，故选B.(2)因为x∈0，π2，所以2x－π6∈－π6，5π6，所以sin2x－π6∈－12，1，所以3sin2x－π6∈－32，3，所以函数f(x)在区间0，π2上的值域是－32，3，故选B.(3)∵f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2sinx－322＋112，又sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.][规律方法]三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求.②把所给的三角函数式变换成y＝Aωx＋φ的形式求值域.③把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.④利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.(1)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为________．(3)函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域为________．(1)A(2)xx≠π4＋kπ，且x≠π2＋kπ，k∈Z(3)－1，12＋2[(1)因为0≤x≤9，所以－π3≤πx6－π3≤7π6，所以sinπx6－π3∈－32，1.所以y∈[－3，2]，所以ymax＋ymin＝2－3.(2)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为xx≠π4＋kπ，且x≠π2＋kπ，k∈Z.(3)设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12(－2≤t≤2)，y＝t＋12t2－12＝12(t＋1)2－1，当t＝2时，y取最大值为2＋12，当t＝－1时，y取最小值为－1.所以函数值域为－1，12＋2.]三角函数的单调性【例2】(1)函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4的一个单调递减区间为π8，5π8，则ω＝________.(3)(2018·全国卷Ⅱ改编)若函数f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是________．(1)kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z(2)2(3)3π4[(1)f(x)＝sin－2x＋π3＝－sin2x－π3，函数f(x)的单调减区间就是函数y＝sin2x－π3的增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所给函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.(2)由π8≤x≤5π8得π8ω＋π4≤ωx＋π4≤5π8ω＋π4.又函数f(x)的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)，则π8ω＋π4＝2kπ＋π2，58πω＋π4＝2kπ＋32π，k∈Z即ω＝16k＋2ω＝165k＋2，解得ω＝2.(3)f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，当x∈[0，a]时，π4≤x＋π4≤a＋π4，由题意知a＋π4≤π，即a≤3π4，故所求a的最大值为3π4.][拓展探究]本例(2)中，若函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上是减函数，试求ω的取值范围．[解]由π2＜x＜π，得π2ω＋π4＜ωx＋π4＜πω＋π4，由题意，知π2ω＋π4，πω＋π4⊆2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z，∴π2ω＋π4≥2kπ＋π2，k∈Zπω＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，∴4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z，当k＝0时，12≤ω≤54.[规律方法]三角函数单调性问题的解题策略已知三角函数的解析式求单调区间①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Aωx＋φ或y＝Aωx＋φ其中ω＞的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.已知三角函数的单调性求参数,已知函数y＝Aωx＋φ的单调性求参数，可先求t＝ωx＋φ的范围a，b，再根据a，b是函数y＝Asint的单调区间的子集关系列不等式组求解.(1)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是________．(2)若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.(1)kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)(2)32[(1)由－π2＋kπ＜2x－π3＜π2＋kπ(k∈Z)，得kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)．故函数的单调递增区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12.(2)∵f(x)＝sinωx(ω＞0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω＞0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32，此时，3π2ω＝π＞π2，符合题意，故ω＝32.]三角函数的周期性、奇偶性、对称性►考法1三角函数的周期性【例3】(2019·大连模拟)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．②④B．①③④C．①②③D．①③C[①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝π.②由图象知，函数的周期T＝π.③T＝π.④T＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C.]►考法2三角函数的奇偶性【例4】函数f(x)＝3sin2x－π3＋φ，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为________．5π6[由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，∴f(0)＝3sinφ－π3＝±3，∴φ－π3＝kπ＋π2，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝5π6.]►考法3三角函数的对称性【例5】(1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x＝π3对称的是()A．y＝2sin2x＋π3B．y＝2sin2x－π6C．y＝2sinx2＋π3D．y＝2sin2x－π3(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点