2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解

第四节数系的扩充与复数的引入[考纲传真]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量OZ→＝(a，b)．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．4．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|，|zn|＝|z|n.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．DB[共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为()A．1B．－1C．±1D．0A[由题意得m2－1＝0m＋1≠0，解得m＝1，故选A.]4．复数1＋2i2－i＝()A．iB．1＋iC．－iD．1－iA[1＋2i2－i＝＋＋－＋＝5i5＝i.]5．(教材改编)设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D[由题意知x＋y＝2x＋3y，y－1＝2y＋1，解得x＝4，y＝－2.则复数z＝4－2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]复数的有关概念1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2C[z＝1－i1＋i＋2i＝1－2＋－＋2i＝i，所以|z|＝1.]2．(2018·浙江高考)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－iB[21－i＝＋－＋＝1＋i，所以复数21－i的共轭复数为1－i，故选B.]3．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．－2[∵a∈R，a－i2＋i＝a－－＋－＝2a－1－a＋5＝2a－15－a＋25i为实数，∴－a＋25＝0，∴a＝－2.][规律方法]解决复数概念问题的策略复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋ba，b∈R的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组即可.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解.复数的运算►考法1复数的乘法运算【例1】(1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3B．－2C．2D．3(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2(1)D(2)A(3)B[(1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.(3)因为(2＋ai)(a－2i)＝－4i，所以4a＋(a2－4)i＝－4i.所以4a＝0，a2－4＝－4.解得a＝0.故选B.]►考法2复数的除法运算【例2】(1)(2018·天津高考)i是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________.(2)(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．(1)4－i(2)2[(1)6＋7i1＋2i＝＋－＋－＝6＋14＋7i－12i5＝4－i.(2)z＝1＋2ii＝＋－－＝2－i故z的实部为2.]►考法3复数的综合运算【例3】(1)(2019·太原模拟)设复数z满足1－z1＋z＝i，则z的共轭复数为()A．iB．－iC．2iD．－2i(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则z|z|＝()A．1B．－1C.45＋35iD.45－35i(3)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i(1)A(2)D(3)B[(1)由1－z1＋z＝i得1－z＝i＋zi.即(1＋i)z＝1－i，则z＝1－i1＋i＝－i，因此z＝i，故选A.(2)∵z＝4＋3i，∴z＝4－3i，|z|＝42＋32＝5，∴z|z|＝4－3i5＝45－35i.(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，所以2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，所以3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，所以z＝1－2i，故选B.][规律方法]复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋ba，b∈R的形式，再结合相关定义解答.(1)(2019·合肥模拟)已知i为虚数单位，则＋－2－i＝()A．5B．5iC．－75－125iD．－75＋125i(2)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为z，若z(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝()A．iB．i－1C．－i－1D．－i(3)(2019·南昌模拟)设z的共轭复数是z，若z＋z＝2，z2＝－2i，则z＝()A.12－12iB.12＋12iC．1＋iD．1－i(1)A(2)C(3)D[(1)法一：＋－2－i＝10－5i2－i＝5，故选A.法二：＋－2－i＝＋2－＋－＝＋－5＝5，故选A.(2)由已知可得z＝2i1－i＝＋－＋＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.(3)对四个选项逐一验证可知，当z＝1－i时，符合题意，故选D.]复数的几何意义【例4】(1)(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)(1)D(2)B[(1)11－i＝1＋i－＋＝1＋i2＝12＋12i，所以11－i的共轭复数为12－12i，在复平面内对应的点为12，－12，位于第四象限，故选D.(2)复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在复平面内对应的点(a＋1,1－a)在第二象限，故a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1，故选B.][规律方法]与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点a，b一一对应.(1)(2019·广州模拟)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数2z＋z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋2iB．1－2iC．－2＋iD．2＋i(1)A(2)C[(1)因为z＝1＋i，所以2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝－＋－＋1＋2i＋i2＝－2＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z＝－＋－＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.]1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．1B.2C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝2，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋iC[∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝i＋1i＝1－i，∴z＝2－i，故选C.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________