2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教学案含解析理51

第六节双曲线[考纲传真]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2虚轴线段实A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.[常用结论]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为2b2a.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．双曲线x23－y22＝1的焦距为()A．5B.5C．25D．1C[由双曲线x23－y22＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线x23－y22＝1的焦距为25.]3．(教材题改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a0)的离心率为2，则a＝()A．2B.62C.52D．1D[依题意，e＝ca＝a2＋3a＝2，∴a2＋3＝2a，则a2＝1，a＝1.]4．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.17[由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．x24－y2＝1[由题意可得ba＝12，a2＋b2＝5，a＞0，b＞0，解得a＝2，则b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1.]双曲线的定义及应用1.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45C[∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，∴|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝22＋22－422×42×22＝34.选C.]2．若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．8B．9C．10D．12B[由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋－2＋－2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．][规律方法]双曲线定义的两个应用一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.双曲线的标准方程【例1】设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．y24－x25＝1[法一：椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，根据双曲线的定义知2a＝|15－2＋－2－15－2＋＋2|＝4，故a＝2.又b2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.法二：椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝9，①又点(15，4)在双曲线上，所以16a2－15b2＝1，②联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.法三：设双曲线的方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.][规律方法]求双曲线标准方程的一般方法待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.x29－y213＝1B.x213－y29＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1(2)(2019·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为()A.x29－y227＝1B.y29－x227＝1C.y212－x224＝1D.y224－x212＝1(1)D(2)B[(1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，所以|2b|a2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F(2,0)可得a2＋b2＝4，所以|b|＝3，即b2＝3，所以a2＝1，故双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0,6)，∴可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．∵渐近线方程为y＝±abx，其中一条渐近线的倾斜角为30°，∴ab＝33，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为y29－x227＝1.]双曲线的几何性质►考法1求双曲线的离心率的值(或范围)【例2】(1)(2017·全国卷Ⅱ)若a1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)(2)(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A.5B．2C.3D.2(1)C(2)C[(1)由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜2.故选C.(2)不妨设一条渐近线的方程为y＝bax，则F2到y＝bax的距离d＝|bc|a2＋b2＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝6a.又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝a2＋c2－6a22ac＝－cos∠POF2＝－ac，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝ca＝3.]►考法2双曲线的渐近线问题【例3】(1)(2019·合肥质检)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．(2)已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是________．(1)y＝±2x(2)2x±y＝0[(1)因为e＝ca＝3，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝2a，则此双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x.(2)由题意，不妨设|PF1||PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而ca，所以有|PF2||F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，即2x±y＝0.]►考法3求双曲线的方程【例4】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1B.x28－y28＝1C.x24－y28＝1D.x28－y24＝1B[由离心率为2，可知a＝b，c＝2a，所以F(－2a,0)，由题意知kPF＝4－00－－2a＝42a＝1，所以2a＝4，解得a＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.][规律方法]与双曲线几何性质有关问题的解题策略求双曲线的离心率或范围.依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得.求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.(1)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，3)C．(0,3)D．(0，3)(2)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．(1)A(2)2[(1)若双曲线的焦点在x轴上，则m2＋n＞0，3m2－n＞0.又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴1＋n＞0，3－n＞0，∴－1n3.若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为y2n－3m2－x2－m2－n＝1，即n－3m2＞0，－m2－n＞0，即n3m2且n－m2，此时n不存在．故选A.(2)由已知得|AB|＝2b2a，|BC|＝2c，∴2×2b2a＝3×2c.又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2，得2ca2－3ca－2＝0，