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第四讲方程(组)及其应用命题点分类集训命题点1一次方程(组)及其应用【命题规律】1.考查内容：①解一元一次方程；②解二元一次方程组；③一次方程(组)的实际应用.2.实际应用题背景主要有：购买分配类问题；3.三大题型均有设题，解答题居多．【命题预测】一次方程(组)及其应用是命题主流趋势之一，解答题考查一次方程(组)的解法应做到不丢分，实际应用问题会与不等式(组)结合，也应引起重视．1.方程2x＋3＝7的解是()A.x＝5B.x＝4C.x＝3.5D.x＝21.D【解析】2x＋3＝7，2x＝4，x＝2，∴选项D正确．2.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是()A.2×1000(26－x)＝800xB.1000(13－x)＝800xC.1000(26－x)＝2×800xD.1000(26－x)＝800x2.C【解析】本题要求螺钉和螺母配套，且1个螺钉需要配2个螺母，所以螺母的数量是螺钉的2倍.不难得出，x名工人生产螺钉的个数为800x个，则(26－x)名工人生产螺母的个数是1000×(26－x)个，根据其等量关系得：1000×(26－x)＝2×800x，故选C.3.有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x、y应分别为()A.x＝1，y＝3B.x＝4，y＝1C.x＝3，y＝2D.x＝2，y＝33.C【解析】根据题意得：7x＋9y≤40，则x≤40－9y7，∵40－9y≥0，且y是正整数，∴y的值可以是1或2或3或4.当y＝1时，x≤317，则x＝4，此时，所剩的废料是：40－1×9－4×7＝3cm；当y＝2时，x≤227，则x＝3，此时，所剩的废料是：40－2×9－3×7＝1cm；当y＝3时，x≤137，则x＝1，此时，所剩的废料是：40－3×9－1×7＝6cm；当y＝4时，x≤47，则x＝0(舍去)．则符合题意的是：x＝3，y＝2.4.为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的14还少5台，则购置的笔记本电脑有________台．4.16【解析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为4(x＋5)台，根据两种电脑的台数共100台，列方程得4(x＋5)＋x＝100，解得x＝16台．5.解方程组：x－y＝2x－y＝y＋1.5.解：x－y＝2①x－y＝y＋1②解法一：把①代入②，得2＝y＋1，则y＝1，把y＝1代入①，得x－1＝2，∴x＝3，∴原方程组的解为x＝3y＝1.解法二：由②－①，得0＝y＋1－2，∴y＝1.(1分)把y＝1代入①，得x－1＝2，∴x＝3，∴原方程组的解为x＝3y＝1.6.为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元，购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．(1)求A、B两种品牌的足球的单价；(2)求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用．6.解：(1)设A品牌的足球的单价为x元/个，B品牌的足球的单价为y元/个，则有2x＋3y＝3804x＋2y＝360，解得x＝40y＝100，∴A品牌的足球的单价为40元/个，B品牌的足球的单价为100元/个．(2)40×20＋100×2＝1000(元)．∴总费用为1000元．命题点2一元二次方程及其应用【命题规律】考查题型及形式：①一元二次方程解法常在选择题或解答题中考查，常考的解法是因式分解和配方法；②根的判别式一般在选择题和填空题中设题，求方程中某个参数的取值范围；③根与系数关系常为根据一元二次方程，在不求解方程根的情况下，利用方程根与系数的关系，求两根之和(积)或某个参数；④一元二次方程实际应用考查增长(下降)率．【命题预测】一元二次方程的解法和实际应用是一种命题趋势；而根的判别式为2011版新课标选学内容，在练习中应逐渐渗透．7.一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为()A.(x－3)2＝14B.(x－3)2＝4C.(x＋3)2＝14D.(x＋3)2＝47.A8.一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根8.B9.一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是()A.x1＝－1，x2＝2B.x1＝1，x2＝－2C.x1＋x2＝3D.x1x2＝29.C10.若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x21－x1＋x2的值为()A.－1B.0C.2D.310.D【解析】由题意可得x21－2x1－1＝0，x1＋x2＝2，即x21－2x1＝1，所以原式＝x21－2x1＋()x1＋x2＝1＋2＝3.11.方程x－1＝2的解是________．11.x＝5【解析】方程两边平方得，x－1＝4，解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的解12.若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．12.k＞－94【解析】∵一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝32－4×1×(－k)＞0，即9＋4k＞0，解得k＞－94.13.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．13.10%【解析】设降价的百分率是x，则100(1－x)2＝81，解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)，故这两次降价的百分率是10%.14.解方程：2(x－3)2＝x2－9.14.解：原方程可化为2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，(x－3)(x－9)＝0，∴x－3＝0或x－9＝0，∴x1＝3，x2＝9.【一题多解】原方程可化为x2－12x＋27＝0，这里a＝1，b＝－12，c＝27，∵b2－4ac＝(－12)2－4×1×27＝360，∴x＝－b±b2－4ac2a＝12±362×1＝12±62，∴原方程的根为x1＝3，x2＝9.15.某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元．如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．(参考数据：1.21＝1.1，1.44＝1.2，1.69＝1.3，1.96＝1.4)15.解：(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由题意得：2900(1＋x)2＝3509，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不符合题意舍去)．答：2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)按10%的增长率，到2018年投入教育经费为3509(1＋10%)2＝4245.89(万元)．因为4245.89＜4250，所以教育经费不能达到4250万元．答：按此增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．方法指导求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b.命题点3分式方程及其应用【命题规律】考查形式：1.分式方程的解法主要考查可化为一元一次方程的分式方程；2.实际应用常考类型——行程问题(关系式中存在两个量的乘积等于第三量)；3.三大题型中均有设题，解答题居多．【命题预测】分式方程的解法和实际应用的考查是一种主流命题趋势，做题时要熟练掌握解分式方程的步骤和实际应用常考类型的关系式．16.方程2x＋1x－1＝3的解是()A.－45B.45C.－4D.416.D【解析】本题考查解分式方程，原方程两边同时乘以x－1，得2x＋1＝3(x－1)，解得x＝4，把x＝4代入x－1＝3≠0，所以x＝4是原分式方程的根．17.关于x的方程3x－2x＋1＝2＋mx＋1无解，则m的值为()A.－5B.－8C.－2D.517.A【解析】方程3x－2x＋1＝2＋mx＋1转化为整式方程为(3x－2)＝2(x＋1)＋m，解得x＝4＋m，根据题意，方程无解，即是方程的增根是使得分母为0的根，令x＋1＝0，解得x＝－1，即x＝4＋m＝－1，解得m＝－5，故选A.18.甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为()A.5000x－600＝8000xB.5000x＝8000x＋600C.5000x＋600＝8000xD.5000x＝8000x－60018.B【解析】甲每小时搬运xkg货物，则乙每小时搬运(x＋600)kg货物，甲搬运5000kg货物所用时间为5000x小时，乙搬运8000kg货物所用时间为8000x＋600小时，根据等量关系“甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等”列方程：5000x＝8000x＋600.19.若关于x的方程ax＋1x－1－1＝0有增根，则a的值为________．19.－1【解析】将方程两边同时乘以x－1，得ax＋1－x＋1＝0，则(a－1)x＋2＝0，∵原方程有增根，∴x＝1，将x＝1代入(a－1)x＋2＝0中，得a－1＋2＝0，a＝－1.20.解方程：1x－2－4x2－4＝1.20.解：去分母，得x＋2－4＝x2－4，移项、整理得x2－x－2＝0，解方程，得x1＝2，x2＝－1，经检验：x1＝2是增根，舍去；x2＝－1是原方程的根，所以原方程的根是x＝－1.21.x－3x－2＋1＝32－x.21.解：去分母得x－3＋x－2＝－3，解得x＝1，检验：x＝1时，x－2＝－1≠0，2－x＝2－1＝1≠0，∴原方程的解为x＝1.22.甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校．乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的12，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．(1)求乙骑自行车的速度；(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？22.解：(1)设乙骑自行车的速度为2x米/分，则甲步行的速度为x米/分，公交车的速度为4x米/分．由题意列方程为：600x＋3000－6004x＋2＝30002x，解得：x＝150，经检验得：当x＝150时，等式成立，∴2x＝2×150＝300，答：乙骑自行车的速度为300米/分．(2)甲到达学校的时间为600x＋3000－6004x＝600150＋3000－6004×150＝8，∴乙8分钟内骑车的路程为：300×8＝2400(米)，∴乙离学校还有3000－2400＝600(米)．答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．中考冲刺集训一、选择题1.方程2x－1＝3x＋2的解为()A.x＝1B.x＝－1C.x＝3D.x＝－32.在解方程x－13＋x＝3x＋12时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是()A.2x－1＋6x＝3(3x＋1)B.2(x－1)＋6x＝3(3x＋1)C.2(x－1)＋x＝3(3x＋1)D.(x－1)＋6x＝3(x＋1)3.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是()A.a＞0B.a＝0C.c＞0D.c＝04.已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为()A.4，－2B.－4，－2C.4，2D