2020版高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教学案含解析理36

第三节等比数列及其前n项和[考纲传真]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．[常用结论]1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝a11－q.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a－an1－a.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于()A．27B．36C.812D．54C[公比q＝a4a3＝1812＝32，则a6＝a4q2＝18×322＝812.]3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]4．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝52，则a1＝________.4[由题意知a3＝a1q2＝1，a2＋a4＝a1q＋a1q3＝52，消去a1得1q＋q＝52，解得q＝12或q＝2.又0＜q＜1，故q＝12，此时a1＝4.]5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.6[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴－2n1－2＝126，解得n＝6.]等比数列基本量的运算1．(2019·太原模拟)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝3a3，则S5＝()A．1B．5C.3148D.1116D[由S3＝3a3得a1＋a2＝2a3，∴1＋q＝2q2，解得q＝－12或q＝1(舍)．∴S5＝1－－1251－－12＝23×3332＝1116，故选D.]2．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.32[设{an}的首项为a1，公比为q，则a1－q31－q＝74，a1－q61－q＝634，解得a1＝14，q＝2，所以a8＝14×27＝25＝32.]3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[解](1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.[规律方法]解决等比数列有关问题的两种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－q(1－qn)(q＜1)或Sn＝a1q－1(qn－1)(q＞1).等比数列的判定与证明【例1】(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[解](1)由条件可得an＋1＝n＋nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.[规律方法]等比数列的判定方法定义法：若q为非零常数，n∈N*，则{an}是等比数列.等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2n∈N*，则数列{an}是等比数列.通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qnc，q均是不为0的常数，n∈N*，则{an}是等比数列.前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－kk为常数且k≠0，q≠0，，则{an}是等比数列.说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.[解](1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.等比数列性质的应用►考法1等比数列项的性质【例2】(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝________.(1)50(2)31[(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.(2)由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由a3＋a5＝20，a3a5＝64，且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以a1q2＝4，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2.所以S5＝1×1－251－2＝31.]►考法2等比数列前n项和的性质【例3】(1)等比数列{an}中，前n项和为48，前2n项和为60，则其前3n项和为________．(2)数列{an}是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式an＝________.(1)63(2)12×13n－1[(1)法一：设数列{an}的前n项和为Sn.因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由前n项和公式得a1－qn1－q＝48，①a1－q2n1－q＝60，②②÷①，得1＋qn＝54，所以qn＝14.③将③代入①，得a11－q＝64.所以S3n＝a1－q3n1－q＝64×1－143＝63.法二：设数列{an}的前n项和为Sn，因为{an}为等比数列，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即S3n＝S2n－Sn2Sn＋S2n＝60－48248＋60＝63.法三：设数列{an}的前n项和为Sn，因为S2n＝Sn＋qnSn，所以qn＝S2n－SnSn＝14，所以S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋142×48＝63.(2)设此数列{an}的公比为q，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，所以S奇＝3S偶，所以q＝S偶S奇＝13.又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝a31q3＝64，所以a1q＝4.又q＝13，所以a1＝12，所以an＝a1qn－1＝12×13n－1.][规律方法]应用等比数列性质解题时的两个关键点在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.(1)已知等比数列{an}的公比q＞0，且a5·a7＝4a24，a2＝1，则a1＝()A.12B.22C.2D．2(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于()A．40B．60C．32D．50(1)B(2)B[(1)a5·a7＝a26＝4a24，∴a6＝2a4，则a6a4＝q2＝2.∴q＝2，从而a1＝12＝22，故选B.(2)S12＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＋(a10＋a11＋a12)＝4＋8＋16＋32＝60.]等差、等比数列的综合问题【例4】(1)已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，12a5，a4成等差数列，则a3＋a5a4＋a6的值是()A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52A[设等比数列{an}的公比为q，由a3，12a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝1＋52或q＝1－52(舍去)，由a3＋a5a4＋a6＝a3＋a3q2a4＋a4q2＝a3＋q2a4＋q2＝1q＝25＋1＝5－5＋5－＝5－12，故选A.](2)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.①求{an}的通项公式；②求ea1＋ea2＋…＋ean.[解]①设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.②因为ea1＝eln2＝2，＝＝eln2＝2，所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea