搜索
第一节数列的概念与简单表示法[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1n＝，Sn－Sn－1n[常用结论]1．数列{an}是递增数列⇔an＋1＞an恒成立．2．数列{an}是递减数列⇔an＋1＜an恒成立．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()(4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝12an－1，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为()A．an＝±1nB．an＝(－1)n·1nC．an＝(－1)n＋11nD．an＝1nB[由a1＝－1，代入检验可知选B.]3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64A[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]4．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第6个三角形数是()A．27B．28C．29D．30B[由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]5．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋－nan－1(n≥2)，则a5＝()A.32B.53C.85D.23D[a2＝1＋1a1＝2，a3＝1＋－1a2＝1－12＝12，a4＝1＋1a3＝1＋2＝3，a5＝1＋－1a4＝1－13＝23.]由数列的前几项归纳数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为()A．an＝n－1n＋1(n∈N*)B．an＝n－12n＋1(n∈N*)C．an＝n－2n－1(n∈N*)D．an＝2n2n＋1(n∈N*)C[注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．]2．数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝__________.2n＋1n2＋1[数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.]3．写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，－34，78，－1516，3132，…；(3)3,33,333,3333，…；(4)－1,1，－2,2，－3,3….[解](1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)数列中各项的符号可通过(－1)n＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝(－1)n＋12n－12n.(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝13(10n－1)．(4)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n＋12表示，数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示．因此an＝－n＋12n为奇数，n2n为偶数[规律方法]由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法.具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用－k或－k＋1，k∈N*处理.由an与Sn的关系求通项公式【例1】(1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________.(1)2，n＝1，6n－5，n≥2(2)(－2)n－1[(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.(2)由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，得an＝23an－23an－1，∴当n≥2时，an＝－2an－1，即anan－1＝－2.又n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，a1＝1，∴an＝(－2)n－1.][规律方法]1.已知Sn求an的三个步骤先利用a1＝S1求出a1；用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1n便可求出当n≥2时an的表达式；注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.2.Sn与an关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.利用an＝Sn－Sn－1n转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；利用Sn－Sn－1＝ann转化为只含an，an－1的关系式，再求解.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.(2)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.(1)4，n＝1，2·3n－1，n≥2(2)－2n－1[(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.显然当n＝1时，不满足上式．∴an＝4，n＝1，2·3n－1，n≥2.(2)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列，an＝－2n－1.]由数列的递推关系求通项公式►考法1形如an＋1＝an＋f(n)，求an【例2】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[解](1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝nn＋2(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.►考法2形如an＋1＝anf(n)，求an【例3】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，求数列{an}的通项公式．[解]∵an＋1＝2nan，∴an＋1an＝2n，∴anan－1＝2n－1(n≥2)，∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2nn－12.又a1＝1适合上式，故an＝2nn－12.►考法3形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.【例4】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．[解]∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.[规律方法]由递推关系式求通项公式的常用方法,已知a1且an－an－1＝fn，可用“累加法”求an，即an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a3－a2＋a2－a1＋a1.已知a1且，可用“累乘法”求an，即an＝2)·…·.已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝qan＋k其中k可由待定系数法确定，可转化为等比数列{an＋k}.形如A，B，C为常数的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.根据下列条件，求数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)a1＝12，an＝n－1n＋1an－1(n≥2)；(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3；(4)a1＝1，an＋1＝2anan＋2.[解](1)由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)因为an＝n－1n＋1an－1(n≥2)，所以当n≥2时，anan－1＝n－1n＋1，所以anan－1＝n－1n＋1，an－1an－2＝n－2n，…，a3a2＝24，a2a1＝13，以上n－1个式子相乘得anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1＝n－1n＋1·n－2n·…·24·13，即ana1＝1n＋1×1n×2×1，所以an＝1nn＋.当n＝1时，a1＝11×2＝12，与已知a1＝12相符，所以数列{an}的通项公式为an＝1nn＋.(3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)．又a1＝1，∴a1＋3＝4.故数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.(4)因为an＋1＝2anan＋2，a1＝1，所以an≠0，所以1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12.又a1＝1，则1a1＝1，所以1an是以1为首项，12为公差的等差数列．所以1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12.所以an＝2n＋1(n∈N*).1．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________.12[∵an＋1＝11－an，∴an＋1＝11－an＝11－11－an－1＝1－an－11－an－1－1＝1－an－1－an－1＝1－1an－1＝1－111－an－2＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝11－a1，∴a1＝12.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.－1n[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.又1S1＝－1，∴1Sn是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.]3．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解](1)由题意可得a2＝12，a3＝14.(2)由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以an＋1an＝12.故{an}是首项为1，公比为12的