2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教学案含解析

第2课时范围、最值问题范围问题【例1】(2018·贵阳监测)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．[解](1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有ca＝63，a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，∴b2＝1，故椭圆C的方程为y23＋x2＝1.(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：y＝kx＋2代入y23＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，Δ＝12k2－12，x1＋x2＝－4k3＋k2，x1x2＝13＋k2.∴x0＝x1＋x22＝－2k3＋k2，y0＝kx0＋2＝63＋k2，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k212k2－123＋k2＝23k4－13＋k2，由题意可得Δ＝12k2－12＞0，63＋k2≤12|AB|，解得k4≥13，即k≥413或k≤－413.故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－413]∪[413，＋∞)．[规律方法]求参数范围的四种方法函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围.数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.(2019·临沂摸底考试)已知点F为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x4＋y2＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．[解](1)由题意得a＝2c，b＝3c，则椭圆E为x24c2＋y23c2＝1.由x24＋y23＝c2，x4＋y2＝1得x2－2x＋4－3c2＝0.∵直线x4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，∴椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)得M1，32，∵直线x4＋y2＝1与y轴交于P(0,2)，∴|PM|2＝54，当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋3)(2－3)＝1，∴由λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝45，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋2，3x2＋4y2－12＝0⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，依题意得x1x2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k2－1)＞0，∴k2＞14，∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·43＋4k2＝1＋13＋4k2＝54λ，∴λ＝451＋13＋4k2，∵k2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是45，1.最值问题►考法1利用几何性质求最值问题【例2】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．22[双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋－2＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.]►考法2建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值【例3】已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．[解](1)设F(c,0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)0，即k234时，x1,2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1.所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ0.所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.►考法3建立函数关系利用导数求最值问题【例4】(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A－12，14，B32，94，抛物线上的点P(x，y)－12x32.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝x2－14x＋12＝x－12，因为－12x32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP与BQ的方程kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标是xQ＝－k2＋4k＋3k2＋.因为|PA|＝1＋k2x＋12＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－k－k＋2k2＋1，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减，因此当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.[规律方法]圆锥曲线中最值问题的解决方法代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值.几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.(2019·邢台模拟)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．[解](1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b，消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m2＞0，①将AB的中点M2mbm2＋2，m2bm2＋2代入直线方程y＝mx＋12，解得b＝－m2＋22m2，②由①②得m＜－63或m＞63.故m的取值范围是－∞，－63∪63，＋∞.(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62，则t2∈032.则|AB|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12，且O到直线AB的距离为d＝t2＋12t2＋1.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝12|AB|·d＝12－2t2－122＋2≤22，当且仅当t2＝12时，等号成立，此时满足t2∈0，32.故△AOB面积的最大值为22.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．[解](1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx－，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋160，故x1＋x2＝2k2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋2＝y0－x0＋22＋16.解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________