2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理教学案含解析理2

第二节二项式定理[考纲传真]会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn.2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn－kn增减性二项式系数Ckn当kn＋12(n∈N*)时，二项式系数是递增的当kn－12(n∈N*)时，二项式系数是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项和相等，同时取得最大值[常用结论]1．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.2．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Cknan－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)通项Tk＋1＝Cknan－kbk中的a和b不能互换．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为()A．6B．－6C．24D．－24A[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C24＝6.故选A.]3．(教材改编)二项式12x－2y5的展开式中x3y2的系数是()A．5B．－20C．20D．－5A[二项式12x－2y5的通项为Tr＋1＝Cr512x5－r(－2y)r.根据题意，得5－r＝3，r＝2，解得r＝2.所以x3y2的系数是C25123×(－2)2＝5.故选A.]4．(教材改编)C02019＋C12019＋C22019＋…＋C20192019C02020＋C22020＋C42020＋…＋C20202020的值为()A．1B．2C．2019D．2019×2020B[原式＝2201922020－1＝2201922019＝1.故选A.]5．(1＋x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.10[∵T6＝C5nx5，又仅有第6项的系数最大，∴n＝10.]二项展开式的有关问题【例1】(1)(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是()A．－3B．－2C．2D．3(2)(2018·广州二模)x2－2x＋y6的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)(1)D(2)－120[(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取1x2项得x2×1x2×C15(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.(2)x2－2x＋y6表示6个因式x2－2x＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－2x，即可得到x3y3的系数．即x3y3的系数是C36C23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.][规律方法]求二项展开式中的特定项的方法,求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围k＝0，1，2，…，n第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.(1)若x2＋1ax6的展开式中常数项为1516，则实数a的值为()A．±2B.12C．－2D．±12(2)已知在3x－123xn的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________．(1)A(2)454x2，－638，45256x－2[(1)x2＋1ax6的展开式的通项为Tr＋1＝，令12－3r＝0，得r＝4.故C46·1a4＝1516，即1a4＝116，解得a＝±2.故选A.(2)由Tr＋1＝r＝.∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3＝0，即n＝10.当10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z时，即r＝2,5,8时10－2r3∈Z，所以展开式中的有理项分别为454x2，－638，45256x－2.]二项式系数的性质及应用►考法1二项式系数的和【例2】(1)在x＋3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为()A．50B．70C．90D．120(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．(1)C(2)－3或1[(1)令x＝1，则x＋3xn＝4n，所以x＋3xn的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cr5x5－r3xr＝Cr53rx5－32r，令5－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2532＝90，故选C.(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.]►考法2二项式系数的性质【例3】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8B[根据二项式系数的性质知，(x＋y)2m的二项式系数最大的项有一项，即Cm2m＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大的项有两项，即Cm2m＋1＝Cm＋12m＋1＝b.又13a＝7b，所以13Cm2m＝7Cm2m＋1，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式．][规律方法]1.“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如ax＋bn，ax2＋bx＋cma，b，c∈R的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2.若fx＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则fx展开式中各项系数之和为f，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)若x2－1xn的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．(2)已知2x－1xn的展开式中的二项式系数和为32，x＋ax2x－1xn的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．(1)255(2)40[(1)x2－1xn展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ckn(x2)n－k·－1xk＝Ckn(－1)kx2n－3k，当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8.对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.又当x＝0时，a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a8＝255.(2)2x－1xn的展开式中的二项式系数和为32，所以2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得x＋ax2x－1xn的展开式中的各项系数的和为(1＋a)(2－1)5＝2，所以a＝1，所以x＋1x2x－1x5的展开式中的常数项为C35·(－1)3·25－3＋C25·(－1)2·25－2＝40.]1．(2017·全国卷Ⅰ)1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35C[因为(1＋x)6的通项为Cr6xr，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为()A．10B．20C．30D．60C[法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2项的系数为C25C13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.]