2020版高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理38

第一节不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真]1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b＞0⇔a＞，b∈R，a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，a－b＜0⇔a＜ba，b∈R；(2)作商法ab＞1⇔a＞ba∈R，b＞，ab＝1⇔a＝ba∈R，b＞，ab＜1⇔a＜ba∈R，b＞2．不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(双向性)(2)传递性：ab，bc⇒ac；(单向性)(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；(双向性)(4)加法法则：ab，cd⇒a＋cb＋d；(单向性)(5)可乘性：ab，c0⇒acbc；(单向性)ab，c0⇒acbc；(单向性)(6)乘法法则：ab0，cd0⇒acbd；(单向性)(7)乘方法则：ab0⇒anbn(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：ab0⇒nanb(n≥2，n∈N)；(单向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}R(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅[常用结论]1．有关分数的性质若a＞b＞0，m＞0，则(1)ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；(2)ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．2．有关倒数的性质a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd.4．简单的分式不等式(1)fxgx≥0⇔fxgx，gx；(2)fxgx＞0⇔fxgx＞0，gx0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)ab⇔ac2bc2.()(2)ab0，cd0⇒adbc.()(3)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是()①ab，cd⇒a－cb－d；②ab0，cd0⇒acbd；③ab0⇒3a3b；④ab0⇒1a21b2.A．①②B．②③C．①④D．①③D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acbd，故②不正确；因为函数y＝x13是单调递增的，所以③正确；对于④，由ab0可知a2b20，所以1a21b2，所以④不正确．]3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bcB.1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1}D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．(－∞，－4]∪[4，＋∞)[由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]不等式的性质及应用1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bdB[由c＜d＜0得1d＜1c＜0，则－1d＞－1c＞0，∴－ad＞－bc，∴ad＜bc，故选B.]2．(2016·北京高考)已知x，y∈R，且xy0，则()A.1x－1y0B．sinx－siny0C.12x－12y0D．lnx＋lny0C[函数y＝12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当xy0时，12x12y，即12x－12y0，故C正确；函数y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，由xy0⇒1x1y⇒1x－1y0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当xy0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；xy0⇒xy0ln(xy)0⇒/lnx＋lny＞0，故D错误．]3．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin2π5，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞aA[因为a＝20.6＞20＝1，又logπ1＜logπ3＜logππ，所以0＜b＜1，c＝log2sin2π5＜log21＝0，于是a＞b＞c.故选A.]4．已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．(－π，2π)[设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则m＋n＝3，n－m＝－1，解得m＝2，n＝1，从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π，∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.][规律方法]利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：,一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.比较大小常用的方法①作差商法：作差商⇒变形⇒判断，②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，,③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.由afx，yb，cgx，yd求Fx，y的取值范围，要利用待定系数法解决，即设Fx，y＝mfx，y＋ngx，y，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得Fx，y的取值范围.一元二次不等式的解法►考法1不含参数的一元二次不等式【例1】(1)不等式2x2－x－3＞0的解集为________．(2)不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示)(1)xx＞32或x＜－1(2)(－4,1)[(1)方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝32，则不等式2x2－x－3＞0的解集为xx＞32或x＜－1.(2)由－x2－3x＋40得x2＋3x－40，解得－4x1，所以不等式－x2－3x＋40的解集为(－4,1)．]►考法2含参数的一元二次不等式【例2】(1)解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a＜0.[解]原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a＜1时，原不等式的解集为(a,1)．(2)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.[解]若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.若a＜0，原不等式等价于x－1a(x－1)＞0，解得x＜1a或x＞1.若a＞0，原不等式等价于x－1a(x－1)＜0.①当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)＜0无解；②当a＞1时，1a＜1，解x－1a(x－1)＜0，得1a＜x＜1；③当0＜a＜1时，1a＞1，解x－1a(x－1)＜0，得1＜x＜1a.综上所述，当a＜0时，解集为xx＜1a或x＞1；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为x1＜x＜1a；当a＝1时，解集为∅；当a＞1时，解集为x1a＜x＜1.[规律方法]1.解一元二次不等式的步骤：使一端为0且把二次项系数化为正数；先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.(1)已知不等式ax2－bx－10的解集是x|－12x－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是()A．{x|2x3}B．{x|x≤2或x≥3}C.x|13x12D.xx13或x12B[∵不等式ax2－bx－10的解集是x|－12x－13，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a0，∴－12－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.](2)解不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．[解]Δ＝a2－4.①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝－a＋a2－42，x2＝－a－a2－42，则原不等式的解集为x－a－a2－42＜x＜－a+a2－42.综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为x－a-a2－42＜x＜－a+a2+42一元二次不等式恒成立问题【例3】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)当m＝0时，f(x)＝－1＜0恒成立．当m≠0时，则m＜0，Δ＝m2＋4m＜0，即－4＜m＜0.综上，－4＜m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．(2)不等式f(x)＜5－m，即(x2－x＋1)m＜6，∵x2－x＋1＞0，∴m＜6x2－x＋1对于x∈[1,3]恒成立，只需求6x2－x＋1的最小值，记g(x)＝6x2－x＋1，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1＝x－122＋34，h(x)在x∈[1,3]上为增函数，则g(x)在[1,3]上为减函数，∴[g(x)]min＝g(3)＝67，∴m＜67.所以m的取值范围是－∞，67.[规律方法]与二次函数有关的不等式恒成立的条件,ax2＋bx＋c＞a恒成立的条件是ax2＋bx＋c＜a恒成立的条件是(1)若不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0)B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0](2)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)－22，0[(1)当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立．则k＜0，Δ＝k2－4×2k×－38＜0，解得－3＜k＜0.综上，满足不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．(2)由题意得，函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需fm＝m2＋m2－1＜0，fm＋＝m＋2＋mm＋－1＜0，即2m2－1＜0，2m2＋3m＜0，解得－22＜m＜0.]一元二次不等式的应用【例4】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·