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第二节两条直线的位置关系[考纲传真]1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．3．三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2[常用结论]1．直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.2．两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.5．与对称问题相关的两个结论(1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)；(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b，可求出x′，y′.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1C[由题意知|a－2＋3|2＝1，∴|a＋1|＝2，又a0，∴a＝2－1.]3．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－3C[直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.故选C.]4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．2[由题意知a·1－2(3－a)＝0，解得a＝2.]5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．324[先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋12＝0，则两平行线间的距离为d＝2－122＝324.]两条直线的平行与垂直1．(2019·梅州月考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当a＝1时，显然l1∥l2，若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]2．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．1或0[l1的斜率k1＝3a－01－－＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝－2a－－a－0＝1－2aa.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·1－2aa＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.][规律方法]解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”易错警示：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．两条直线的交点与距离问题【例1】(1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________.(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．(1)x＋2y－7＝0(2)x＋3y－5＝0或x＝－1[(1)由x＋y－4＝0，x－y＋2＝0，得x＝1，y＝3，∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13，∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.][规律方法]1.求过两直线交点的直线方程的方法,求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.(1)当0k12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295(1)B(2)C[(1)由kx－y＝k－1，ky－x＝2k得x＝kk－1，y＝2k－1k－1.又∵0k12，∴x＝kk－10，y＝2k－1k－10，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．(2)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.]对称问题►考法1点关于点的对称问题【例2】(2018·泉州模拟)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．x＋4y－4＝0[设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]►考法2点关于直线的对称问题【例3】如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．33B．6C．210D．25C[直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.]►考法3直线关于直线的对称问题【例4】(2019·郑州模拟)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0A[设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由x＋x02－y＋y02＋2＝0，x－x0＝－y＋y0，得x0＝y－2，y0＝x＋2，由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.][规律方法]解决两类对称问题的关键,解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．[解](1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×x′＋x2－y′＋y2＋3＝0.②由①②得x′＝－4x＋3y－95，③y′＝3x＋4y＋35.④把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l对称的直线方程为－4x＋3y－95－3x＋4y＋35－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，∴x′＋02＝1，x′＝2，y′＋32＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.