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第3节直线、圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆、圆与圆的位置关系3,5,8,11直线与圆相切问题1,2,7与圆的弦长有关问题4,5,9,10,12综合应用问题6,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则a的值为(B)(A)±(B)±5(C)3(D)±3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=±5.故选B.2.(2018·长春模拟)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为(B)(A)2x+y-5=0(B)2x+y-7=0(C)x-2y-5=0(D)x-2y-7=0解析:因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,所以点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,因为圆心与切点连线的斜率k==,所以切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故选B.3.(2018·福州模拟)过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为(B)(A)y=-(B)y=-(C)y=-(D)y=-解析:圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,以|PC|==2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-.故选B.4.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是(B)(A)-2(B)-4(C)-6(D)-8解析:将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.5.(2016·山东卷)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(B)(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离解析:圆M:x2+y2-2ay=0的圆心M(0,a),半径为a.所以圆心M到直线x+y=0的距离为,由直线y+x=0被圆M截得弦长为2知a2-=2,故a=2.即M(0,2),且圆M半径为2.又圆N的圆心N(1,1),且半径为1,由|MN|=,且2-12+1.故两圆相交.故选B.6.(2018·全国名校第四次大联考)已知直线ax+2y-2=0与圆(x-1)2+(y+1)2=6相交于A,B两点,且A,B关于直线x+y=0对称,则a的值为(D)(A)1(B)-1(C)2(D)-2解析:由几何关系可得直线x+y=0,经过圆(x-1)2+(y+1)2=6的圆心,且与直线ax+2y-2=0垂直,由直线垂直的充要条件有a×1+2×1=0,所以a=-2.选D.7.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.解析:设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5.设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则=(x-1,y-2).由⊥(O为坐标原点),得·=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.答案:x+2y-5=08.(2018·湖南郴州质监)过点M(,1)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,kCM=-2,所以kAB=,从而直线方程为y-1=(x-),即2x-4y+3=0.答案:2x-4y+3=09.(2017·深圳一模)直线ax-y+3=0与圆(x-2)2+(y-a)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.解析:设圆心到直线的距离为d,则d==,由r2=d2+()2知()2=4-≥3,解得a≤-.答案:(-∞,-]能力提升(时间:15分钟)10.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为(A)(A)5(B)10(C)15(D)20解析:如图,作OP⊥AC于点P,OQ⊥BD于点Q,则OP2+OQ2=OM2=3,于是AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20.又AC2+BD2≥2AC·BD,则AC·BD≤10,所以S四边形ABCD=AC·BD≤×10=5,当且仅当AC=BD=时等号成立.故四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.11.若曲线x2+y2-6x=0(y0)与直线y=k(x+2)有公共点,则k的取值范围是(C)(A)[-,0)(B)(0,)(C)(0,](D)[-,]解析:因为x2+y2-6x=0(y0)可化为(x-3)2+y2=9(y0),所以曲线表示圆心为(3,0),半径为3的上半圆,它与直线y=k(x+2)有公共点的充要条件是:圆心(3,0)到直线y=k(x+2)的距离d≤3,且k0,所以≤3,且k0,解得0k≤.故选C.12.过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.解析:因为(1-2)2+()2=34,所以点(1,)在圆(x-2)2+y2=4的内部,当劣弧所对的圆心角最小时,即直线l交圆的弦长最短,此时圆心(2,0)与点(1,)的连线垂直于直线l.因为=-,所以所求直线l的斜率k=.答案:13.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方,得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-.(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.14.(2018·广东汕头期末节选)在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.