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第8节函数与方程【选题明细表】知识点、方法题号函数零点(个数)及所在区间1,2,4,8,9,10利用函数零点个数确定参数的取值(范围)3,5,6,7,11,14函数零点的综合问题12,13基础巩固(时间:30分钟)1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(D)(A),0(B)-2,0(C)(D)0解析:当x≤1时,则f(x)=2x-1=0,解得x=0.当x1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.2.(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数f(x)=lnx-的零点所在的区间为(B)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:易知f(x)=lnx-在定义域(0,+∞)上是增函数,又f(1)=-20,f(2)=ln2-0,则f(1)·f(2)0,故f(x)的零点在区间(1,2)内.3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(C)(A)(1,3)(B)(1,2)(C)(0,3)(D)(0,2)解析:因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,所以0a3.4.已知函数f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x-1的零点依次为a,b,c,则(A)(A)abc(B)acb(C)bca(D)bac解析:令函数f(x)=2x+x+1=0,可知x0,即a0;令g(x)=log2x+x+1=0,则0x1,即0b1;令h(x)=log2x-1=0,可知x=2,即c=2.显然abc.5.(2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是(C)(A)(B)(C)-(D)-解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=f(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,只有一个实根,即2x2-x+1+λ=0只有一个实根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.6.(2018·北京燕博园联考)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-k有三个不同的零点,则实数k的取值范围是(C)(A)(-2,2)(B)(-2,1)(C)(0,2)(D)(1,3)解析:当x0时,f(x)=x3-3x,则f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,所以x=±1(舍去正根),故f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,又f(x)=ln(x+1)在x≥0上单调递增,则函数f(x)的图象如图所示.f(x)极大值=f(-1)=2,且f(0)=0,故当k∈(0,2)时,y=f(x)-k有三个不同零点.7.(2017·河南焦作二模)已知函数f(x)=F(x)=f(x)-x-1,且函数F(x)有2个零点,则实数a的取值范围为(C)(A)(-∞,0](B)[1,+∞)(C)(-∞,1)(D)(0,+∞)解析:由题意,x≤0,F(x)=ex-x-1,有一个零点0;x0,F(x)=x[x+(a-1)],因为函数F(x)有2个零点,所以1-a0,所以a1.故选C.8.函数f(x)=-()x的零点个数为.解析:令f(x)=0,得=()x.在平面直角坐标系中分别画出函数y=与y=()x的图象.如图所示.由图可知两函数图象有1个交点,故f(x)的零点只有一个.答案:19.(2018·衡水中学检测)已知函数f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)的零点个数是.解析:由y=2f2(x)-3f(x)=0,得f(x)=0或f(x)=.作出y=f(x)的图象(如图).由图象知,f(x)=0时,方程有2个实根,f(x)=时,方程有3个实根.故y=2f2(x)-3f(x)共有5个零点.答案:5能力提升(时间:15分钟)10.函数f(x)=lnx+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(A)(A)(0,)(B)(,1)(C)(1,e)(D)(e,+∞)解析:函数f(x)=lnx+ex在(0,+∞)上单调递增,因此函数f(x)最多只有一个零点.f(e-3)=-3+-3+e0,又f()=ln+=-10,所以函数f(x)=lnx+ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(0,).11.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a等于(C)(A)-(B)(C)(D)1解析:因为y=x2-2x在x=1处有最小值-1,y=ex-1+e-x+1在x=1处有最小值2.又因为f(x)有唯一的零点,所以当x=1时,f(x)有最小值f(1)=-1+2a=0,所以a=.故选C.12.(2018·河北保定第一次模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=-2x+1,设函数g(x)=()|x-1|(-1x3),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为(B)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期为2.由于f(x)为偶函数,所以f(1-x)=f(x-1)=f(x+1),故f(x)的图象关于直线x=1对称.又函数g(x)=()|x-1|的图象关于直线x=1对称,在同一坐标系内作出f(x)与g(x)在(-1,3)上的图象,如图,由图可知四个交点的横坐标关于x=1对称,其和为2×2=4.13.(2018·河北邯郸第一次模拟)若曲线y=log2(2x-m)(x2)上至少存在一点与直线y=x+1上的一点关于原点对称,则m的取值范围为.解析:因为直线y=x+1关于原点对称的直线为y=x-1.依题意,方程log2(2x-m)=x-1在x∈(2,+∞)上有解,则m=2x-1在x∈(2,+∞)上有解,所以m2.又2x-m0在x∈(2,+∞)上恒成立,则m(2x)min,所以m≤4.所以实数m的取值范围为(2,4].答案:(2,4]14.(2018·济南质检)已知函数f(x)=若方程f(x)=ax有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是.解析:在同一坐标系内,作函数y=f(x)与y=ax的图象.当y=ax是y=lnx的切线时,设切点P(x0,y0),因为y0=lnx0,a=(lnx)′=,所以y0=ax0=1=lnx0,x0=e,故a=.故y=ax与y=f(x)的图象有三个交点时,0a.答案:(0,)