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第4节直接证明与间接证明【选题明细表】知识点、方法题号综合法1,6,10,11分析法3,4,8,12反证法2,5,7,9,13基础巩固(时间:30分钟)1.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是(A)(A)abc(B)bca(C)cab(D)acb解析:因为a=-=,b=-=,c=-=,且+++0,所以abc.故选A.2.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设(B)(A)三个内角都不大于60°(B)三个内角都大于60°(C)三个内角至多有一个大于60°(D)三个内角至多有两个大于60°3.已知ab0,证明-可选择的方法,以下最合理的是(B)(A)综合法(B)分析法(C)类比法(D)归纳法解析:首先,排除C,D.然后,比较综合法、分析法.我们选择分析法,欲证-,只需证+,即证ab+(a-b)+2,只需证02.选B.4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求证a”索的因应是(C)(A)a-b0(B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0(D)(a-b)(a-c)0解析:由题意知a⇐b2-ac3a2⇐(a+c)2-ac3a2⇐a2+2ac+c2-ac-3a20⇐-2a2+ac+c20⇐2a2-ac-c20⇐(a-c)(2a+c)0⇐(a-c)(a-b)0.5.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下正确的是(D)(A)①与②的假设都错误(B)①与②的假设都正确(C)①的假设正确;②的假设错误(D)①的假设错误;②的假设正确解析:反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q2,所以①不正确;对于②,其假设正确.6.(2017·山东青岛模拟)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(D)(A)都大于2(B)都小于2(C)至少有一个不大于2(D)至少有一个不小于2解析:因为a0,b0,c0,所以(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.选D.7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是.答案:a,b都不能被5整除8.+与2+的大小关系为.解析:要比较+与2+的大小,只需比较(+)2与(2+)2的大小,只需比较6+7+2与8+5+4的大小,只需比较与2的大小,只需比较42与40的大小,因为4240,所以+2+.答案:+2+能力提升(时间:15分钟)9.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b1;②a+b=2;③a+b2;④a2+b22;⑤ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(C)(A)②③(B)①②③(C)③(D)③④⑤解析:若a=,b=,则a+b1,但a1,b1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b22,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故⑤推不出;对于③,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.选C.10.已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)A≤B≤C(B)A≤C≤B(C)B≤C≤A(D)C≤B≤A解析:因为≥≥,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()≤f()≤f().所以A≤B≤C.11.如果a+ba+b,则a,b应满足的条件是.解析:因为a+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)=(-)(a-b)=(-)2(+).所以当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)0.所以a+ba+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.答案:a≥0,b≥0且a≠b12.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:+=.证明:要证+=,即证+=3也就是+=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需证c2+a2=ac+b2,又△ABC三个内角A,B,C成等差数列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.13.设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?(1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q≠0矛盾,所以数列{Sn}不是等比数列.(2)解:当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数列,否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q≠0矛盾.综上,当q=1时,数列{Sn}是等差数列;当q≠1时,数列{Sn}不是等差数列.