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第3节合情推理与演绎推理【选题明细表】知识点、方法题号归纳推理1,3,4,7,8,9类比推理5,10,11,12演绎推理2,6,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.下列推理是归纳推理的是(B)(A)由于f(x)=xcosx满足:f(-x)=-f(x)对任意x∈R都成立,推断f(x)=xcosx为奇函数(B)由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜出数列{an}的前n项和的表达式(C)由圆x2+y2=1的面积S=πr2,推断:椭圆+=1(ab0)的面积S=πab(D)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解析:归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些性质,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,只有B是归纳推理,故选B.2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是(C)(A)使用了归纳推理(B)使用了类比推理(C)使用了“三段论”,但推理形式错误(D)使用了“三段论”,但小前提错误解析:由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误.3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于(D)(A)f(x)(B)-f(x)(C)g(x)(D)-g(x)解析:由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g(-x)=-g(x).4.(2017·河北衡水中学一调)一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴;…,如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂(B)(A)只(B)66只(C)63只(D)65只解析:根据题意可知,第一天共有蜜蜂1+5=6(只);第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只);第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只);…,故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B.5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;⑥“=”类比得到“=”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:①②正确;③④⑤⑥错误.6.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生回答如下:甲说:“我们四人都没考好”;乙说:“我们四人中有人考的好”;丙说:“乙和丁至少有一人没考好”;丁说:“我没考好”.结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中说对的两人是(D)(A)甲,丙(B)乙,丁(C)丙,丁(D)乙,丙解析:甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为D.7.(2018·大庆校级模拟)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,第六个图的蜂巢总数为(C)(A)61(B)90(C)91(D)127解析:从所给图中可发现第n个图可视为在前一个图的基础上外面围上一个正六边形,且每条边有n个小六边形.设第n个图的蜂巢总数为f(n).则f(n)比f(n-1)多的蜂巢数即为外围的蜂巢数6n-6.因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.当n=6时,f(6)=3×62-3×6+1=91.故选C.8.(2018·西安质检)观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1=.解析:因为1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,…,所以归纳可得1+2+…+n+…+2+1=n2.答案:n2能力提升(时间:15分钟)9.观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,用你所发现的规律得出22018的末位数字是(B)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:通过观察可知,末位数字的周期为4,2018÷4=504……2,故22018的末位数字为4.故选B.10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,则△ABC的内切圆半径为r=.将此结论类比到空间四面体:设四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,则四面体的内切球半径为(C)(A)(B)(C)(D)解析:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V=(S1+S2+S3+S4)r,所以r=.11.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按下图所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积,S4表示截面面积,那么类比得到的结论是.解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得++=.故填++=.答案:++=12.已知点A(x1,),B(x2,)是函数y=ax(a1)的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,sinx1),B(x2,sinx2)是函数y=sinx(x∈(0,π))的图象上任意不同两点,则类似地有成立.解析:对于函数y=ax(a1)的图象上任意不同两点A,B,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论成立;对于函数y=sinx(x∈(0,π))的图象上任意不同的两点A(x1,sinx1),B(x2,sinx2),线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的下方,类比可知应有sin成立.答案:sin13.(2018·武昌区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是.解析:由题可知,乙、丁两人的观点一致,即同真同假,假设乙、丁说的是真话,那么甲、丙两人说的是假话,由乙说的是真话,推出丙是罪犯,由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,显然两个结论相互矛盾,所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙供述可得,乙是罪犯.答案:乙14.已知函数f(x)=+bx,其中a0,b0,x∈(0,+∞),试确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.解:因为a0,b0,x∈(0,+∞),所以令f′(x)=-+b=0,得x=,当0x≤时,-≤-b,所以-+b≤0,即f′(x)≤0(仅在x=时,f′(x)=0),所以f(x)在(0,]上是减函数;当x≥时,-+b≥0,即f′(x)≥0(仅在x=时,f′(x)=0),所以f(x)在[,+∞)上是增函数.