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第4节幂函数与二次函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数1,2,4,10二次函数的图象与性质3,5,7,8,12,14二次函数的综合问题6,9,11,13,15基础巩固(时间:30分钟)1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)·在(0,+∞)上为增函数,则m的值为(B)(A)1或3(B)1(C)3(D)2解析:由题意知解得m=1.2.(2018·山东济宁一中检测)下列命题正确的是(D)(A)y=x0的图象是一条直线(B)幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)(C)若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数(D)幂函数的图象不可能出现在第四象限解析:A中,当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为一条直线上挖去一点,A错;B中,y=xn,当n0时,图象不过原点,B不正确.C中,当n0,y=xn在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,C错误.幂函数图象一定过第一象限,一定不过第四象限,D正确.3.(2018·郑州检测)若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)(A)(A)在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增(B)在(-∞,3)上递增(C)在[1,3]上递增(D)单调性不能确定解析:由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为10,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.4.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是(B)(A)acb(B)bca(C)bac(D)cba解析:令函数f(x)=,易知函数f(x)=在(0,+∞)上为增函数,又,所以a=()()=c,令函数g(x)=()x,易知函数g(x)=()x在(0,+∞)上为减函数,又,所以b=()()=c.综上可知,bca,故选B.5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b24ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5ab.其中正确的是(B)(A)②④(B)①④(C)②③(D)①③解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac0,即b24ac,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y=a-b+c0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5ab,④正确.故选B.6.若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(A)(A)(-∞,-2)(B)(-2,+∞)(C)(-6,+∞)(D)(-∞,-6)解析:不等式x2-4x-2-a0在区间(1,4)内有解等价于a(x2-4x-2)max,令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),f(x)f(4)=-2,所以a-2.7.二次函数f(x)=2x2+bx+c满足{x|f(x)=x}={1},则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为(C)(A)4(B)8(C)16(D)20解析:由题方程2x2+bx+c=x仅有一个根1,即2x2+(b-1)x+c=0仅有一个根.得b=-3,c=2.f(x)=2x2-3x+2,对称轴为x=,f(x)max=f(-2)=16.故选C.8.(2018·武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=.解析:由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+49.(2018·泉州质检)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是.解析:依题意,知a0,且Δ=1-4ab=0,所以4ab=1,且b0.故a+4b≥2=2.当且仅当a=4b,即a=1,b=时等号成立.所以a+4b的取值范围是[2,+∞).答案:[2,+∞)能力提升(时间:15分钟)10.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax+的图象可能是(B)解析:若a0,由y=xa的图象知排除C,D选项,由y=ax+的图象知选项B有可能;若a0,由y=xa的图象知排除A,B选项,但y=ax+的图象均不适合.综上选B.11.(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且2是f(x)的一个零点,-1是f(x)的一个极小值点,那么不等式f(x)0的解集是(C)(A)(-4,2)(B)(-2,4)(C)(-∞,-4)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(4,+∞)解析:依题意,f(x)是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)=a(x+4)(x-2)(a0),于是f(x)0,解得x2或x-4.12.(2018·浙江“超级全能生”模拟)已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是(B)(A)[-,](B)[1,](C)[2,3](D)[1,2]解析:由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t.又y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以t≥1.则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,解得-≤t≤.又t≥1,所以1≤t≤.13.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是.解析:由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图),若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4.答案:[0,4]14.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.解析:当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)上单调递增.当a≠0时,若f(x)在(-∞,4)上单调递增.则解之得-≤a0.综上可知,实数a的取值范围是[-,0].答案:[-,0]15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0,b,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)由a=1,c=0,得f(x)=x2+bx,从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于-1≤x2+bx≤1在区间(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2.所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].