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第11节导数在研究函数中的应用第一课时导数与函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号判定函数的单调性、求单调区间2,5,6,8由单调性理解导函数图象1比较大小或解不等式3,10,11由单调性求参数的取值范围4,7,12由导数研究函数单调性的综合问题9,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是(B)解析:由导函数的图象知,在[-1,1]上f′(x)0,故函数f(x)在[-1,1]上是单调递增的.又因为在[-1,0]上f′(x)的值逐渐增大,在[0,1]上f′(x)的值逐渐减小,所以在[-1,0]上,f(x)的增长率逐渐增大,在[0,1]上f(x)的增长率逐渐变小.故选B.2.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为(A)(A)(0,1)(B)(0,+∞)(C)(1,+∞)(D)(-∞,0)∪(1,+∞)解析:函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)0,解得0x1.所以单调递减区间是(0,1).3.已知f(x)=1+x-sinx,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是(D)(A)f(2)f(3)f(π)(B)f(3)f(2)f(π)(C)f(2)f(π)f(3)(D)f(π)f(3)f(2)解析:因为f(x)=1+x-sinx,所以f′(x)=1-cosx,当x∈(0,π]时,f′(x)0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,所以f(π)f(3)f(2).4.(2018·山东淄博桓台二中月考)若函数f(x)=kx-lnx在区间(2,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(B)(A)(-∞,-2](B)[,+∞)(C)[2,+∞)(D)(-∞,)解析:f′(x)=k-,因为函数f(x)=kx-lnx在区间(2,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.所以k≥,而y=在区间(2,+∞)上单调递减,所以k≥,所以k的取值范围是[,+∞).5.(2018·湖南长沙长郡中学月考)求形如y=f(x)g(x)的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得lny=g(x)lnf(x),再两边同时求导得·y′=g′(x)lnf(x)+g(x)··f′(x),于是得到y′=f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)+g(x)··f′(x)],运用此方法求得函数y=的单调递增区间是(C)(A)(e,4)(B)(3,6)(C)(0,e)(D)(2,3)解析:由题设,y′=·(-·lnx+)=·(x0).令y′0,得1-lnx0,所以0xe.所以函数y=的单调递增区间为(0,e).故选C.6.已知函数f(x)=(-x2+2x)ex(x∈R,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区间为.解析:因为f(x)=(-x2+2x)ex,所以f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.令f′(x)0,则(-x2+2)ex0,因为ex0,所以-x2+20,解得-x,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,).答案:(-,)7.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是.解析:由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a0,解得a-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).答案:(-3,0)∪(0,+∞)8.已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′().(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f′(x)=3x2+2ax-1.所以a=f′()=3×()2+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,则f′(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1),令f′(x)0,解得x1或x-;令f′(x)0,解得-x1.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);f(x)的单调递减区间是(-,1).能力提升(时间:15分钟)9.(2017·山东卷)若函数exf(x)(e=2.71828…,是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是(A)(A)f(x)=2-x(B)f(x)=x2(C)f(x)=3-x(D)f(x)=cosx解析:若f(x)具有M性质,则[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]0在f(x)的定义域上恒成立,即f(x)+f′(x)0在f(x)的定义域上恒成立.对于选项A,f(x)+f′(x)=2-x-2-xln2=2-x(1-ln2)0,符合题意.经验证,选项B,C,D均不符合题意.故选A.10.(2018·惠州调研)已知函数f(x)=xsinx+cosx+x2,则不等式f(lnx)+f(ln)2f(1)的解集为(D)(A)(e,+∞)(B)(0,e)(C)(0,)∪(1,e)(D)(,e)解析:f(x)=xsinx+cosx+x2是偶函数,所以f(ln)=f(-lnx)=f(lnx),所以f(lnx)+f(ln)2f(1)可变形为f(lnx)f(1).f′(x)=xcosx+2x=x(2+cosx),因为2+cosx0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以f(lnx)f(1)等价于-1lnx1,所以xe.11.(2018·重庆市一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(x)f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是(A)(A)f(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)(B)f(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)(C)f(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)(D)f(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)解析:令g(x)=,则g′(x)=0,故g(x)在R上递减,而ln20,20,故g(ln2)g(0),g(2)g(0),即,,即f(ln2)2f(0),f(2)e2f(0).12.(2018·安徽江南十校联考)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是.解析:f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=x-.由f′(x)=x-0,解得0x3.因为f(x)=x2-9lnx在[a-1,a+1]上单调递减,所以解得1a≤2.答案:(1,2]13.(2018·天津滨海新区八校联考)设函数f(x)=x2ex.(1)求在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当x∈[-2,2]时,求使得不等式f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围.解:(1)因为f′(x)=x2ex+2xex,所以k=f′(1)=3e,切点(1,e).切线方程为3ex-y-2e=0.(2)令f′(x)0,即x(x+2)ex0,得f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调递减.(3)由(2)知,f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,fmin(x)=f(0)=0.当x∈[-2,2]时,不等式f(x)≤2a+1能成立,须2a+1≥fmin(x),即2a+1≥0,故a≥-.故a的取值范围为[-,+∞).14.已知函数f(x)=exlnx-aex(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+1垂直,求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.解:(1)f′(x)=exlnx+ex·-aex=(-a+lnx)ex,f′(1)=(1-a)e,由(1-a)e·=-1,得a=2.(2)由(1)知f′(x)=(-a+lnx)ex,若f(x)为单调递减函数,则f′(x)≤0在x0时恒成立,即-a+lnx≤0在x0时恒成立.所以a≥+lnx在x0时恒成立.令g(x)=+lnx(x0),则g′(x)=-+=(x0),由g′(x)0,得x1;由g′(x)0,得0x1.故g(x)在(0,1)上为单调递减函数,在(1,+∞)上为单调递增函数,此时g(x)的最小值为g(1)=1,但g(x)无最大值(且无趋近值).故f(x)不可能是单调递减函数.若f(x)为单调递增函数,则f′(x)≥0在x0时恒成立,即-a+lnx≥0在x0时恒成立,所以a≤+lnx在x0时恒成立,由上述推理可知a≤1.故实数a的取值范围是(-∞,1].