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第四课时导数与函数零点【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数零点个数2,5根据函数零点求参数3,4函数零点的综合应用1,6,7基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·河北邢台第二次月考)已知f(x)=ex-ax2.命题p:∀a≥1,y=f(x)有三个零点;命题q:∃a∈R,f(x)≤0恒成立.则下列命题为真命题的是(B)(A)p∧q(B)(￢p)∧(￢q)(C)(￢p)∧q(D)p∧(￢q)解析:对于命题p:当a=1时,f(x)=ex-x2,在同一坐标系中作出y=ex,y=x2的图象(图略),由图可知y=ex与y=x2的图象有1个交点,所以f(x)=ex-x2有1个零点,故命题p为假命题,因为f(0)=1,所以命题q显然为假命题.故(￢p)∧(￢q)为真.2.(2018·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[-1,4],部分对应值如表:x-10234f(x)12020f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.当1a2时,函数y=f(x)-a的零点的个数为(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据导函数图象,知2是函数的极小值点,函数y=f(x)的大致图象如图所示.由于f(0)=f(3)=2,1a2,所以y=f(x)-a的零点个数为4.3.若函数f(x)=+1(a0)没有零点,则实数a的取值范围为.解析:f′(x)==(a0).当x2时,f′(x)0;当x2时,f′(x)0,所以当x=2时,f(x)有极小值f(2)=+1,若使函数f(x)没有零点,当且仅当f(2)=+10,解之得a-e2,因此-e2a0.答案:(-e2,0)4.(2018·河北武邑中学第二次调研)已知函数f(x)=x3-x2-ax-2的图象过点A(4,).(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)若函数g(x)=f(x)-2m+3有3个零点,求m的取值范围.解:(1)因为函数f(x)=x3-x2-ax-2的图象过点A(4,),所以-4a-4a-2=,解得a=2,即f(x)=x3-x2-2x-2,所以f′(x)=x2-x-2.由f′(x)0,得x-1或x2.所以函数f(x)的单调增区间是(-∞,-1),(2,+∞).(2)由(1)知f(x)极大值=f(-1)=--+2-2=-,f(x)极小值=f(2)=-2-4-2=-,由数形结合,可知要使函数g(x)=f(x)-2m+3有三个零点,则-2m-3-,解得-m.所以m的取值范围为(-,).能力提升(时间:15分钟)5.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=+x,其中e是自然对数的底数,e=2.71828….(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.(1)证明:由题意可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x.所以h(1)=e-30,h(2)=e2-3-0,所以h(1)h(2)0,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.(2)解:由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x.由g(x)=+x知x∈[0,+∞),而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1,2)内有零点,因此h(x)在[0,+∞)上至少有两个零点.h′(x)=ex--1,记(x)=ex--1,则′(x)=ex+.当x∈(0,+∞)时,′(x)0,因此(x)在(0,+∞)上单调递增,易知(x)在(0,+∞)内只有一个零点,则h(x)在[0,+∞)上有且只有两个零点,所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.6.已知函数f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0).(1)若f(0)=2,求实数a的值,并求此时f(x)在[-2,1]上的最小值;(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.解:(1)由f(0)=1-a=2,得a=-1.易知f(x)在[-2,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,所以当x=0时,f(x)在[-2,1]上取得最小值2.(2)f′(x)=ex+a,由于ex0.①当a0时,f′(x)0,f(x)是增函数,当x1时,f(x)=ex+a(x-1)0.当x0时,取x=-,则f(-)1+a(--1)=-a0.所以函数f(x)存在零点,不满足题意.②当a0时,f′(x)=ex+a,令f′(x)=0,得x=ln(-a),在(-∞,ln(-a))上,f′(x)0,f(x)单调递减,在(ln(-a),+∞)上,f′(x)0,f(x)单调递增,所以当x=ln(-a)时,f(x)取得最小值.函数f(x)不存在零点,等价于f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)0,解得-e2a0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-e2,0).7.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的单调递增区间;(2)当0-e时,若f(x)在区间(0,e)上的最大值为-3,求a的值;(3)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=+是否有实数根.解:(1)由已知可知函数f(x)的定义域为{x|x0},当a=-1时,f(x)=-x+lnx(x0),f′(x)=(x0);当0x1时,f′(x)0;当x1时,f′(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1).(2)因为f′(x)=a+(x0),令f′(x)=0,解得x=-;由f′(x)0,解得0x-;由f′(x)0,解得-xe.从而f(x)的单调递增区间为(0,-),递减区间为(-,e),所以f(x)max=f(-)=-1+ln(-)=-3,解得a=-e2.(3)由(1)知当a=-1时,f(x)max=f(1)=-1,所以|f(x)|≥1.令g(x)=+,则g′(x)=.当0xe时,g′(x)0;当xe时,g′(x)0.从而g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(e)=+1,所以|f(x)|g(x),即|f(x)|+,所以,方程|f(x)|=+没有实数根.