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第三节全称量词与存在量词[考纲传真]1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对会有一个量词的命题进行否定．1．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃2.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)[常用结论]含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．()(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，非p(x)的真假性相反．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3[答案]C3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lgx＜1D．∃x∈R，tanx＝2B[对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]4．命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＜0”的否定为________．∀x∈R，x2－ax＋1≥0[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x20－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．[－8,0][当a＝0时，不等式显然成立．当a≠0时，依题意知a＜0，Δ＝a2＋8a≤0，解得－8≤a＜0.综上可知－8≤a≤0.]全称命题与特称命题的辨析【例1】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对任意x∈N,2x＋1是奇数；(2)每一个矩形的对角线都互相平分；(3)对任意x∈R，－x2－1＜0；(4)对某些实数x，有3x＋2＞0；(5)存在x0∈Q，x20＝3；(6)不相交的两条直线是平行直线．[解](1)是全称命题．因为对任意x∈N,2x＋1都是奇数，所以“对任意x∈N,2x＋1是奇数”是真命题．(2)是全称命题．由矩形的性质可知此命题是真命题．(3)是全称命题．因为对任意x∈R，－x2－1＜0恒成立，所以是真命题．(4)命题中含有存在量词“某些”，故为特称命题，又当x＞－23时，3x＋2＞0，故命题为真命题．(5)含有“存在”量词，故为特称命题，由于使x2＝3成立的实数只有x＝±3，不属于有理数，故命题为假命题．(6)是全称命题．不相交的两条直线还可能是异面直线．故是假命题．[规律方法]判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤,首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题.若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题.当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)有理数都能写成分数形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.[解](1)任意一个有理数都能写成分数形式．(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．(3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.含有一个量词的命题的否定【例2】(1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2(1)A(2)D[(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x－1，故选A.(2)结合全(特)称命题的否定形式可知，D选项正确．][规律方法]1.对全称(特称)命题进行否定的两步操作(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．全称命题、特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．(1)命题：“∃x0＞0，使2x0(x0－a)＞1”，这个命题的否定是()A．∀x＞0，使2x(x－a)＞1B．∀x＞0，使2x(x－a)≤1C．∀x≤0，使2x(x－a)≤1D．∀x≤0，使2x(x－a)＞1(2)下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x2－x－1＞0B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sinα＋sinβC．∃x∈R，x2－x＋1＝0D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cosα＋cosβ(1)B(2)D[(1)命题的否定为∀x＞0，使2x(x－a)≤1，故选B.(2)因为x2－x－1＝x－122－54≥－54，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，所以B是假命题．x2－x＋1＝x－122＋34≥34，所以C是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cosα＋cosβ，所以D是真命题，故选D.]根据命题的真假求参数的取值范围【例3】(1)已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,3)C．(－3，＋∞)D．(－3,1)(2)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2(1)B(2)A[(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×12＜0，则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B.(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此，由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2，故选A.][规律方法]根据命题的真假求参数的取值范围的方法与步骤求出当命题p，q为真时所含参数的取值范围.根据命题p，q的真假情况，利用集合的运算并、交、补求出参数的取值范围.已知命题p：∀x∈[1,2]，使得ex－a≥0.若非p是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，e2]B．(－∞，e]C．[e，＋∞)D．[e2，＋∞)B[非p是假命题，则p是真命题，当x∈[1,2]时，e≤ex≤e2，由题意知a≤(ex)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.]