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第2节一元二次不等式及其解法【选题明细表】知识点、方法题号一元二次不等式的解法1,3,5分式或高次不等式的解法2,9一元二次不等式恒成立问题4,8,10,12,13一元二次不等式的实际应用6综合应用7,11,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·安庆模拟)函数f(x)=的定义域是(D)(A)(-∞,1)∪(3,+∞)(B)(1,3)(C)(-∞,2)∪(2,+∞)(D)(1,2)∪(2,3)解析:由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).2.(2018·宣城模拟)不等式≥0的解集为(B)(A)[-2,1](B)(-2,1](C)(-∞,-2)∪(1,+∞)(D)(-∞,-2]∪(1,+∞)解析:由≥0,得解得-2x≤1,所以不等式≥0的解集为{x|-2x≤1}.3.(2018·呼伦贝尔模拟)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)0的实数x的取值范围是(B)(A)(0,2)(B)(-2,1)(C)(-∞,-2)∪(1,+∞)(D)(-1,2)解析:由题意,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-20,即x2+x-20,得-2x1.4.(2018·漳州模拟)若不等式kx2-kx+10对任意x∈R都成立,则k的取值范围是(B)(A)(0,4)(B)[0,4)(C)(0,+∞)(D)[0,+∞)解析:因为kx2-kx+10对任意x∈R都成立,所以当k=0时,10显然成立,当k≠0时,应有解得0k4.综上知,0≤k4.5.(2018·汕头模拟)已知不等式ax2+bx+20的解集为{x|-1x2},则不等式2x2+bx+a0的解集为(A)(A){x|-1x}(B){x|x-1或x}(C){x|-2x1}(D){x|x-2或x1}解析:由题意知x=-1,x=2是方程ax2+bx+2=0的两个根,且a0.由根与系数关系得⇒所以不等式2x2+bx+a0,即2x2+x-10,解得-1x.故选A.6.(2018·湘潭模拟)某产品的总成本y(万元)和产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0x240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(C)(A)100台(B)120台(C)150台(D)180台解析:依题意,得25x≥3000+20x-0.1x2,整理,得x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200,因为0x240,所以150≤x240,即最低产量是150台.7.(2018·衢州模拟)若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是.解析:原不等式即(x-a)(x-1)≤0,当a1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1a≤3.综上可得-4≤a≤3.答案:[-4,3]8.(2018·厦门模拟)在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为.解析:原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立,x2-x-1=(x-)2-≥-,所以-≥a2-a-2,解得-≤a≤.所以实数a的最大值为.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·濮阳模拟)若关于x的不等式ax-b0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式0的解集为(B)(A)(-1,2)(B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(1,2)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:因为关于x的不等式ax-b0的解集为(1,+∞),所以a0,且=1,即a=b.所以不等式可等价于0,解得x2或x-1,所以解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).10.(2018·茂名模拟)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)0恒成立,则b的取值范围是(C)(A)(1,0)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(2,+∞)(D)不能确定解析:由f(1-x)=f(1+x)成立,知f(x)图象的对称轴为x==1,故a=2.又f(x)图象开口向下,所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.f(x)0恒成立,即f(x)min=b2-b-20恒成立,解得b-1或b2.11.(2018·乐山模拟)设函数f(x)=则不等式f(x)f(1)的解集是(A)(A)(-3,1)∪(3,+∞)(B)(-3,1)∪(2,+∞)(C)(-1,1)∪(3,+∞)(D)(-∞,-3)∪(1,3)解析:因为f(1)=1-4+6=3,所以f(x)f(1)等价于或解得0≤x1或x3或-3x0.所以不等式的解集为{x|-3x1或x3}.12.不等式≥m对任意实数x都成立,则实数m的取值范围是(A)(A)(-∞,2](B)(-∞,2)(C)(-∞,3](D)(-∞,3)解析:因为x2+x+1=(x+)2+0恒成立,所以不等式≥m等价于3x2+2x+2≥m(x2+x+1),即(3-m)x2+(2-m)x+2-m≥0对任意实数x都成立,①当3-m=0,即m=3时,不等式为-x-1≥0,对任意实数x不恒成立;②当3-m≠0,即m≠3时,有解得m≤2,综上可得,实数m的取值范围是(-∞,2].故选A.13.(2018·株洲模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为.解析:因为4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0,所以a的取值范围为(-∞,0].答案:(-∞,0]14.(2018·徐州模拟)若关于x的不等式x2+mx-4≥0在区间[1,4]上有解,则实数m的最小值是.解析:由题知,原题等价于m≥-x在区间[1,4]上有解,令f(x)=-x(x∈[1,4]),则m≥f(x)min.因为f(x)=-x在区间[1,4]上单调递减,所以f(x)min=f(4)=-4=-3,所以m≥-3,故实数m的最小值是-3.答案:-315.(2018·盘锦模拟)已知函数f(x)=若f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数a的取值范围是.解析:f(1)=12+2×1=3,当a0时,-a0,原不等式可化为(-a)2-2(-a)+a2+2a≤2×3,即2a2+4a-6≤0,解得-3≤a≤1,又a0,所以0a≤1;当a=0时,-a=0,f(-a)=f(a)=f(0)=0,此时不等式0≤2×3恒成立;当a0时,-a0,原不等式可化为(-a)2+2(-a)+a2-2a≤2×3,即2a2-4a-6≤0,解得-1≤a≤3,又a0,所以-1≤a0.综上,实数a的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]