搜索
第三课时利用导数求解不等式问题【选题明细表】知识点、方法题号分离参数法解决不等式恒成立问题5,6等价转化法解决不等式恒成立问题2,3存在性不等式成立问题7不等式证明1,4基础巩固(时间:30分钟)1.设f(x)是R上的可导函数,且满足f′(x)f(x),对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是(B)(A)f(a)eaf(0)(B)f(a)eaf(0)(C)f(a)(D)f(a)解析:构造函数g(x)=,则g′(x)==0,即g(x)=是增函数,而a0,所以g(a)g(0),即f(a)eaf(0).故选B.2.若对任意a,b满足0abt,都有blnaalnb,则t的最大值为.解析:因为0abt,blnaalnb,所以,令y=,x∈(0,t),则函数在(0,t)上递增,故y′=0,解得0xe.故t的最大值为e.答案:e3.(2018·广东深圳中学第一次阶段性测试)函数f(x)=x-2sinx,对任意的x1,x2∈[0,π],恒有|f(x1)-f(x2)|≤M,则M的最小值为.解析:因为f(x)=x-2sinx,所以f′(x)=1-2cosx,所以当0x时,f′(x)0,f(x)单调递减;当xπ时,f′(x)0,f(x)单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值,且f(x)min=f()=-2sin=-.又f(0)=0,f(π)=π,所以f(x)max=π.由题意得|f(x1)-f(x2)|≤M等价于M≥|f(x)max-f(x)min|=π-(-)=+.所以M的最小值为+.答案:+4.(2018·济南模拟)已知f(x)=(1-x)ex-1.(1)求函数f(x)的最大值;(2)设g(x)=,x-1且x≠0,证明:g(x)1.(1)解:f′(x)=-xex.当x∈(-∞,0)时,f′(x)0,f(x)单调递增;当x∈(0,+∞)时,f′(x)0,f(x)单调递减.所以f(x)的最大值为f(0)=0.(2)证明:由(1)知,当x0时,f(x)0,g(x)01.当-1x0时,g(x)1等价于f(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h′(x)=-xex-1.当x∈(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1,从而当x∈(-1,0)时,h′(x)0,h(x)在(-1,0)上单调递减.当-1x0时,h(x)h(0)=0,即g(x)1.综上,当x-1且x≠0时总有g(x)1.能力提升(时间:15分钟)5.(2018·安徽江南十校联考)已知函数f(x)=xlnx(x0).(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥恒成立,求实数m的最大值.解:(1)由f(x)=xlnx(x0),得f′(x)=1+lnx,令f′(x)0,得x;令f′(x)0,得0x.所以f(x)的单调增区间是(,+∞),单调减区间是(0,).故f(x)在x=处有极小值f()=-,无极大值.(2)由f(x)≥及f(x)=xlnx,得m≤恒成立,问题转化为m≤()min.令g(x)=(x0),则g′(x)=,由g′(x)0⇒x1,由g′(x)0⇒0x1.所以g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以g(x)min=g(1)=4,因此m≤4,所以m的最大值是4.6.已知函数f(x)=在x=0处的切线方程为y=x.(1)求a的值;(2)若对任意的x∈(0,2),都有f(x)成立,求k的取值范围.解:(1)由题意得f′(x)=,因为函数在x=0处的切线方程为y=x,所以f′(0)==1,得a=1.(2)由(1)知f(x)=对任意x∈(0,2)都成立,所以由0知k+2x-x20,即kx2-2x对任意x∈(0,2)都成立,从而k≥0.由不等式整理可得k+x2-2x,令g(x)=+x2-2x,所以g′(x)=+2(x-1)=(x-1)(+2),令g′(x)=0得x=1,当x∈(1,2)时,g′(x)0,函数g(x)在(1,2)上单调递增,同理,函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以kg(x)min=g(1)=e-1.综上所述,实数k的取值范围是[0,e-1).7.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R).(1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.解:(1)f′(x)=,当导函数f′(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时,函数f(x)在区间[1,2]上就不是单调函数,所以实数a的取值范围是a≤1或a≥2.即实数a的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞).(2)由题意知,不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x2-2x+a(lnx-x)≥0在区间[1,e]上有解.因为当x∈[1,e]时,lnx≤1≤x(不同时取等号),x-lnx0,所以a≤在区间[1,e]上有解.令h(x)=,则h′(x)=.因为x∈[1,e],所以h′(x)≥0,h(x)单调递增,所以x∈[1,e]时,h(x)max=h(e)=,所以a≤,所以实数a的取值范围是(-∞,].